sujet bac madagascar - Exercices corriges

Baccalauréat de l'enseignement général
Madagascar
Session 2011


MATHEMATIQUES - Série : D


N.B : - Les DEUX exercices et le Problème sont obligatoires.
- Machine à calculer scientifique NON programmable autorisée.
EXERCICE 1 (5 points)
corrigé
Soit l'équation (E) : [pic]
1°) Montrer que (E) admet une solution imaginaire pure [pic] où
[pic]est un nombre réel que l'on
déterminera. (0,5pt)
2°) a- Montrer que (E) peut s'écrire sous la forme :[pic] où a, b, c
sont
des nombres complexes à déterminer.
(0,75 pt)
b- Résoudre dans C l'équation (E)
(0,75pt)
3°) Dans le plan complexe (P) muni d'un repère orthonormé direct
[pic], d'unité 1 cm,
on donne les points A,B, et C d'affixes respectives
[pic]2i ; 3 + i et [pic]4+ 2i.
a- Placer les points A, B, et C dans le plan (P).
(0,25pt)
b- On pose [pic]
Ecrire [pic] sous forme trigonométrique.
(0,5 pt)
c- En déduire la nature du triangle ABC.
(0,5pt)
d- Trouver l'affixe du point D pour que le quadrilatère ABCD
soit un parallélogramme (0,5pt)
4°) Soit S la transformation d'expression complexe [pic]
a- Quelle est la nature de S et donner ses éléments
caractéristiques. (0,25pt + 0,5pt)
b- Construire l'image [pic]de ABCD par [pic].
(0,5pt)

EXERCICE 2 (5 points)
corrigé
I ) Une urne contient 8 boules indiscernables au toucher dont :
. 3 rouges numérotées : 2 ; 2 ; 5
. 5 blanches numérotées : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5.
1) Le jeu consiste à tirer au hasard et simultanément deux boules de
l'urne.
Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
A : « obtenir deux boules de couleurs différentes »
(0,25pt)
B : « obtenir deux boules de numéros pairs »
(0,5 pt)
C : « obtenir deux boules dont le produit des numéros est égal
à 4 » (0,5 pt)
2) On tire au hasard et successivement avec remise 3 boules de
l'urne.
Soit X la variable aléatoire définie par le nombre de boules
portant le numéro 5 obtenu.
a) Déterminer l'univers image de X
(0,5pt)
b) Donner la loi de probabilité de X
(0,75pt)


NB : On donnera les résultats sous forme de fraction irréductible.

II) On donne sur le tableau ci-dessous le nombre d'élèves d'un lycée ayant
réussi le Baccalauréat durant
4 années successives :

|Année |2007 |2008 |2009 |2010 |
|Rang de l'année(xi) |1 |2 |3 |4 |
|Nombre d'élèves en |3 |5 |6 |9 |
|centaine (yi) | | | | |

1) Représenter le nuage des points Mi (xi, yi) [pic] associé à cette
série statistique. (0,75pt)
Echelle : sur l'axe des abscisses, prendre 1cm pour représenter une
unité.
sur l'axe des ordonnées, placer 2 à l'origine des axes puis
prendre 1cm pour
représenter 100 élèves.
2) Déterminer le point moyen G.
(0,5pt)
3) Calculer le coefficient de corrélation r et interpréter.
(0,5pt)
4) Ecrire l'équation de la droite de régression de y en x.
(0,5pt)
5) Combien de réussites peut-on espérer en 2014 ?
(0,25pt)
NB : Les résultats seront donnés à 10-2 près.

PROBLEME (10 points)
corrigé
On considère la fonction numérique[pic] définie sur IR par :[pic]
On note (C) sa courbe représentative dans un plan muni d'un repère
orthonormé [pic] d'unité 2cm.
1) Soit g la fonction numérique définie sur IR par : [pic]
a- Etudier les variations de g et dresser son tableau de
variation. (0,5pt+0,5pt)
b- Démontrer que l'équation [pic] admet une solution unique notée
[pic]dans IR
et que [pic]. (0,5pt)
c- En déduire le signe de [pic] suivant les valeurs de [pic].
(0,5pt)
2) a- Calculer [pic] et [pic]. (0,25 pt x2)
b- Calculer la dérivée [pic] et montrer que :[pic]pour tout
[pic]élément de IR. (0,5pt)
c- Montrer que [pic]. (0,5pt)
d- Dresser le tableau de variation de [pic].
(0,5pt)
3) a- Calculer [pic] et interpréter graphiquement ce résultat.
(0,25 pt x2)
b- Démontrer que la droite (D) : [pic] est asymptote à (C) au
voisinage de [pic] (0,5pt)
c- Etudier la position de (C) par rapport à (D).
(0,5pt)
4) a- Ecrire une équation de la tangente (T) à (C) au point
d'abscisse[pic]. (0,5pt)
b- Montrer qu'il existe un point A de (C) où (C) admet une
tangente ([pic]) parallèle à (D). (0,25pt)
Trouver les coordonnées du point A.
(0,25pt)
5) Tracer (D), (T), ([pic]) et (C) dans le même repère. Pour la
construction, on prendra
[pic] et [pic]. (0,25ptx3+1,25pt)
6) a- A l'aide d'une intégration par partie ; calculer [pic]
(0,5pt)
b- Déterminer, en cm2 , l'aire A [pic] du domaine plan délimité
par (C), (D) et les droites
d'équations [pic] et [pic], ([pic] > 0 )
(0,5pt)
c- Calculer [pic] [pic]. (0,5pt)