a propos des frises et des pavages - Examen corrige

Journée Pédagogique ARPAM, Valenciennes, 5 Juin 2002, organisée avec le
concours de l'IREM (Lille), de l'IUFM (Lille), du LAMATH (Valenciennes)


Haut Patronage de Monsieur le Recteur FORTIER



FRISES ET PAVAGES


(COMMENT LA NATURE REMPLIT-ELLE L'ESPACE ?)



Généralités









I Le choix du thème


Le thème « frises et pavages » est rattaché à un thème physique plus
général, évidemment important, celui qu'emploie la Nature pour remplir
l'Espace. Cette formulation de la thématique remonte à l'année 1992, au
moment d'une réflexion sur la symétrie florale, et après une relecture du
Timée (Platon) et L'Étrenne ou la Neige sexangulaire (Képler).

Le thème, frises et pavages, est plein de richesses de nature diverse.

1) Du point de vue historique et artistique, on pourra souligner son
ancienneté, son caractère d'universalité, en montrant des réalisations
faites à diverses époques et dans différentes civilisations.
2) Devant cette diversité, pour ne pas se laisser noyer par elle, une
sorte d'instinct nous pousse à ranger, à classer, à trouver des
éléments chaque fois plus raffinés de classification. On peut, par
exemple, les classer, non seulement par date et civilisation, mais
aussi selon les types de motifs : empruntés au monde végétal, au monde
animal, géométriques, etc. On pourra montrer aux élèves des exemples
illustrés de telles classifications.
3) Dès l'école primaire, de manière très graduée, rappelant l'acquis de
l'année précédente, les professeurs d'art, de mathématiques,
d'histoire, pourraient développer de conserve un enseignement sur les
frises, comprenant présentation, familiarisation et reproduction,
observation, formalisation, réalisation.
4) Aucun recensement n'a été entrepris les lieux d'enseignements
pratiqués à l'étranger sur les frises et les pavages. En voici deux :
Houston Teachers Institute, et l'Université d'Harvard. L'ouvrage de
George Martin cité dans la bibliographie fait référence à un cours
donné aux professeurs d'école (qui transmettent donc sans doute une
partie au moins de leur acquis à leurs élèves).



II Les frises


L'étude des frises par des élèves présente les intérêts suivants du
point de vue de l'acquisition des connaissances et de la formation de
l'esprit :

. Facilité d'accès au concept
. Attractivité artistique
. Aiguise le sens de l'observation
. Thème interdisciplinaire
. Se prête aisément à une classification qui peut être formalisée
. Permet l'accès rapide à l'intelligence de l'une des structures parmi
les plus importantes en mathématiques
. Permet d'accéder à toutes les facettes de la géométrie et de la
topologie de dimension inférieure à 4, par l'infinie variété des
motifs possibles (de dimension 1 (courbes, n?uds) ou 2, pouvant aussi
représenter des objets en dimension 3)
. Permet, par le choix des motifs, de conserver la sensibilité à
l'intelligence spatiale
. Permet, par l'imposition de modification locale des règles, de
construire des motifs de taille variable, et par conséquent conforte
les bénéfices qu'apporte l'exercice du calcul mental sur l'agilité de
l'esprit
. Permet d'approfondir une classe de motifs, par exemple les n?uds
. Permet également d'entrer dans le monde de la représentation
analytique et sur écran via la programmation
. Peut faire l'objet de travaux pratiques conduisant à un
enrichissement de la théorie : par exemple, étudier des frises sur des
espaces plans munis d'une autre métrique que l'euclidienne, définir et
étudier une frise en dimension 3, étudier les effets de perspective et
de lumière sur une frise dont les objets sont de dimension 3, création
de frises non uniformes, le passage d'un motif au suivant étant
également contrôlé par une application de déformation pouvant dépendre
de paramètres, tracer une frise sur une surface riemannienne (discuter
selon qu'elle est orientable ou non) avec contraintes données, étudier
les sections d'une frise par une sous-variété.


Un premier enseignement à l'école primaire ?



Cet enseignement peut être dispensé dans les temps consacrés aux activités
d'art plastique.

Les mathématiciens ont établi l'existence de 7 familles de frises planes
(pas une de plus), classées par leurs symétries internes. On distinguera
des frises formant des bordures « ouvertes » tracées le long de lignes sans
fin, des frises formant des bordures « fermées », c'est-à-dire tracées le
long de ligne se refermant sur elle-mêmes comme par exemple les carrés et
les cercles.

La première année, on observera sur des exemples que la plus simple des
frises, celle par laquelle il faut bien sûr commencer l'étude, est la frise
(... F F F ...) de type noté souvent F1, et que je préfèrerai noter Ft (car
engendrée par une translation t) : on voit qu'elle ne contient qu'un motif,
se répétant à l'infini, chaque motif étant équidistant de ses deux
voisins : rangées d'arbres vues de loin, bâtons, sapins stylisés,
triangles, arbres en boules stylisés, cercles, carrés. Jeux de couleurs.
Motifs plus savants.

L'année suivante, revenant sur le travail de l'année précédente, on
s'aperçoit qu'on a probablement également réalisé des frises (... A A A
...) dont le motif possède une symétrie « verticale », celle, très
naturelle, liée à la gravité, ou encore, celle, bilatérale, de nous-même.
On pourra noter d'abord Ftsv une telle famille de frises, pour signifier
que le motif qui possède une symétrie « verticale ». On fabriquera un petit
programme visualisant cette symétrie à l'aide d'un pliage virtuel. On
remarquera alors la présence d'une symétrie entre deux motifs voisins. On
expliquera alors pourquoi on peut noter par Fmm (m comme miroir) cette
famille de frises.

La troisième année, on pourra introduire une autre symétrie, plus rare,
plus difficile, la symétrie qu'on peut observer si on a la chance d'être
près d'un plan d'eau, lorsque les arbres, les montagnes, les nuages se
reflètent sur le miroir de l'étendue limpide. La famille de frises ( ... D
D D ...) ayant cette symétrie est notée F1m par certains mathématiciens
mais je crois qu'il sera plus explicite de la noter Ftsh (sh pour symétrie
horizontale). A ce stade de maturité, on montrera sur ordinateur, il faut
donc préparer ou avoir sous la main un petit programme ad hoc de
visualisation, le déplacement d'un motif sur son voisin, la création des
motifs à partir d'un motif générateur. On introduit ici les notions de
translation t, de générateur, de composition de translations. Propriété des
translations et des symétries s : elles laissent invariantes les dimensions
du motif (on peut introduire le terme d'isométrie). La visualisation de la
composition des translations peut se faire par l'intermédiaire des sauts de
longueur entière du « kangourou merveilleux » dont j'ai raconté les
exploits dans l'un de mes premiers cours de DEUG il y a bien longtemps (les
étudiants à Noël m'ont alors offert un tel kangourou, gonflable, jaune, que
je possède toujours).

L'année suivante, reprendre les notions et représentations vues les années
précédentes, pour étudier les propriétés des compositions de translation,
de symétrie, et introduire la structure de groupe. On reprend les exemples
précédents : Ft = , Ftsv = , Ftsh = . Etude du groupe des
symétries par rapport à un miroir donné. On introduit la notion de frise
« fermée » (frise qui court le long d'un cercle). On fait voir des
invariances par rotation sur papier et sur ordinateur, et l'on voit les
groupes de rotations d'angles ?, /2, /3. Exemples d'« équivalences » de
groupes. On note par F2 = Ttd les frises (...S S S ...) dont le
motif possède une symétrie interne définie par une rotation d'angle ? ou
demi-tour d (on passe alors d'un demi-motif à un demi-motif adjacent par un
autre demi-tour d'). Certes, Ftsv, Ftsh, Ftd sont des sous-groupes de Ft,
et parmi les frises de Ftd, figurent les frises (... / \ / ...) où l'on
passe d'un motif au suivant par une symétrie verticale. Le groupe des
symétries de ces frises, noté Ftdsv =