Corrigé DS 04

Terminale STI - Corrigé n° 4 Exercice 1.
On considère les nombres complexes : =5-2i et =7-8i
a) Calculer les nombres complexes : . -+ =-2(5-2i)+(7-8i)
-+ =-10+4i+7-8i
+ =-3-4i)).
. =(5-2i)(7-8i)
=35-40i-14i+
=35-54i-16
=19-54i)).
. ;) ) =
;) ) =
;) ) =;-) )
;) ) =
;) ) ==+i)).
. \s\up 5(2) =
\s\up 4(2) =25-20i+
\s\up 4(2) =21-20i)).
. \s\do 2(2))\s\up 5(3) =(7+8i)
\s\do 2(2))\s\up 5(3) =)(7+8i)
\s\do 2(2))\s\up 5(3) =(-15+112i)(7+8i)
\s\do 2(2))\s\up 5(3) =-105-120i+784i+
\s\do 2(2))\s\up 5(3) =-1001+664i)).
b) Résoudre dans ( l'équation : =-+
Cette équation équivaut à : =-3-4i.
Posons z=x+yi. L'équation devient : =-3-4i
Donc : +2xyi-=-3-4i
Donc, en identifiant les parties réelles et imaginaires on obtient le
système : -=-3;2xy=-4)).
De la deuxième équation, il résulte : y=-=-. (car x et y sont non
nuls)
On reporte ce résultat dans la première équation : -)\s\up 9(2)=-3
ce qui donne : -) )=-3
ou encore, en multipliant par : -4=-
soit, finalement, l'équation bicarrée : +-4=0.
En posant X=, l'équation devient : +3X-4=0
Le discriminant est : ?=25. Donc les racines sont ==-4 et ==1.
La solution doit être rejetée car X= et donc X est positif.
On déduit donc : =1
Si x=1 on déduit y=-=-2
Si x=-1, on déduit y=-=2.
Donc l'équation =-+ a pour ensemble de solutions )). Exercice 2
a) ln(x+2)=ln(x+11)-ln(x+3)
Pour que cette équation soit définie, il faut que : , ou encore :
Autrement dit, le domaine de définition de cette équation est
l'intervalle .
Si x>-2, cette équation équivaut successivement à : ln(x+2)=ln)
Donc : x+2=
donc : (x+2)(x+3)=x+11
donc : +3x+2x+6=x+11
donc : +4x-5=0.
Le discriminant de cette équation est ?=36. Les racines sont 1 et -5.
Compte tenu de l'ensemble de définition de l'équation, l'ensemble de
solution se réduit à ).
b) ln-4)=ln45
Commençons par chercher l'ensemble de définition de l'équation.
Il faut que l'on ait : -4>0, soit x>2 ou xln(x+13).
Pour que cette inéquation soit définie, il faut que :
+9x+20>0;x+13>0))
Le polynôme +9x+20 a pour discriminant ?=1.
Il est positif à l'extérieur de ses racines ==-5 et ==-4.
Donc, pour que l'inéquation doit définie il faut que : x>-4;x>-13))
Par conséquent, le domaine de définition de l'inéquation est D=?.
Si x?D, l'inéquation équivaut successivement à : +9x+20>x+13
+8x+7>0
Le polynôme +8x+7 a pour discriminant ?=36 et ses racines sont : ==-7
et ==-1.
[pic]
Donc l'ensemble des solutions est l'intersection des 2 ensembles:
?)).
d) lnx+ln(2-x)+ln(x+4)Ãln(5x)
Cette inéquation est définie lorsque : ce qui donne soit x?.
Donc, si x?, l'inéquation peut s'écrire : ln[x(2-x)(x+4)]Ãln(5x)
ou encore : x(2-x)(x+4)Ã5x
Donc, puisque x>0, on peut simplifier par x : (2-x)(x+4)Ã5
ce qui donne : 2x+8--4xÃ5
Soit : --2x+3Ã0.
Le polynôme -2x+3 a pour discriminant ?=16. Il est positif entre ses
racines 1 et -3 car le coefficient de est négatif.
Donc l'ensemble des solutions est : ?=))
Voici une confirmation graphique : [pic]
Problème Partie A f(x)=ax+b+3ln(x+1) x?. 1. Que peut-on dire du sens de variation de la fonction f ?
D'après l'allure de la courbe et le fait qu'au point d'abscisse ,
elle ait une tangente horizontale, on peut dire que :
. la fonction f est croissante sur l'intervalle ))),
. elle est décroissante sur l'intervalle ;+õ))),
. elle a un maximum au point d'abscisse et ce maximum est
supérieur à 5 (car C passe par le point A)
2. Déterminer les réels a et b.
On sait que C passe par A donc f(0)=5.
On peut donc écrire : a×0+b+3ln(0+1)=5
Donc : ) car ln1=0.
Par ailleurs, on sait que C a une téangente horizontale au point
d'abscisse . On en déduit que f')=0.
Or la dérivée de f est donnée par : f'(x)=a+
Donc : 0=a++1) )
0=a+) )=a+3×=a+2
Donc : )
La fonction f est donc définie par : f(x)=-2x+5+3ln(x+1). Partie B
1. a) Calcul de la limite de f en -1.
On a : (x+1)=0;lnx=-õ)) donc, par composition : ln(x+1)=-õ
Par ailleurs, (-2x+5)=7
Donc, d'après les règles de calcul des limites : f(x)=-õ)).
On en déduit que la droite d'équation x=-1 est asymptote à C.
b) Calcul de la limite de f en +õ.
On a : (-2x+5)=-õ;(ln(x+1))=+õ)) On ne peut donc pas conclure
directement (forme indéterminée)
On peut écrire, pour xý0 et x>-1 : f(x)=x+)
Or )=0;=0)) donc +)=-2
donc x+)=-õ
donc f(x)=-õ)).
2. Étude des variations de f.
La dérivée de la fonction f est définie sur par : f'(x)=-2+.
On peut a ussi écrire : f'(x)==
Donc le signe de f'(x) est donné par le tableau :
|x |(( | |-1 | | | | |
|x+1 | |- |0 |+ | |+ | |
|f'(x) | | | | |+ |
|signe de f ( | |+ |0 |( | |
| | | |f(0,5) | | |
|f | | | | | |
| |-õ | | | |-õ |
3. Courbe représentative
[pic]
4. a) Montrer qu'il existe 2 réels ? et ? tels que : ?