CHAPITRE I : Cinématique et dynamique du point matériel - iihe

Chapitre I : Cinématique du point matériel


I.1 : Introduction

La plupart des objets étudiés par les physiciens sont en mouvement :
depuis les particules élémentaires telles que les électrons, les protons et
les neutrons qui constituent les atomes, jusqu'aux galaxies, en passant par
les objets usuels et les corps célestes. On ne peut espérer bien comprendre
comment fonctionne la nature que si l'on est capable de définir clairement
le mouvement et de le mesurer. La branche de la physique qui étudie les
mouvements s'appelle la mécanique.
L'étude de la mécanique se subdivise en cinématique et
dynamique. La cinématique consiste à décrire la manière dont un corps se
déplace dans l'espace en fonction du temps sans s'attacher aux causes qui
produisent ce mouvement. La dynamique, par contre, s'intéresse à ces
causes : les forces. Elle relie les forces au mouvement.
Nous limiterons notre étude de la mécanique à l'étude du
mouvement des points matériels. Par définition un point matériel est un
objet sans dimensions spatiales. Bien entendu, dans la plupart des cas, il
s'agit d'une simplification, les objets réels occupant généralement un
certain espace. Néanmoins, ce concept est utile dans bon nombre de
situations réelles où on ne s'intéresse pas aux rotations de l'objet sur
lui-même ou lorsque les dimensions de l'objet peuvent être négligées. C'est
notamment le cas des charges électriques en mouvement dans un circuit
électrique.
On appelle trajectoire d'un mobile l'ensemble des positions
successives qu'il occupe au cours du temps (voir figure I.1).
[pic]
Figure I.1.
I.2 : Cinématique à 1 dimension

C'est le cas particulier de la trajectoire rectiligne.

I.2.1 : Repérage du mobile

Le mobile est repéré par une coordonnée cartésienne x (t) sur un axe
x qui coïncide avec la trajectoire (ou qui lui est parallèle). Ceci
implique le choix d'une origine, d'un sens et d'une unité de mesure de
longueur (voir figure I.2).

[pic]
Figure I.2.
I.2.2 : La vitesse moyenne

La vitesse d'un mobile caractérise la variation de sa position au
cours du temps. Soit deux positions du mobile P1 et P2 à deux instants t1
et t2 (t1 < t2). La vitesse moyenne du mobile entre les instants t1 et t2
est donnée par :
[pic] (*)
où x1 et x2 sont les coordonnées des points P1 et P2. ?x est le déplacement
du mobile pendant l'intervalle de temps [t1, t2].

Remarques :
. A la fois ?x et vm ont un signe. Ils seront tous deux positifs
si le mobile se déplace dans le sens de l'axe x, négatifs dans
le cas contraire.
. Sauf dans le cas d'un mouvement à vitesse constante, vm dépend
du choix de t1 et de t2.
I.2.3 : La vitesse instantanée

Etant donnée la remarque 2) ci-dessus, la vitesse moyenne ne peut
servir à caractériser la vitesse d'un mobile à un instant donné, t. En
effet, vm (t, t2) dépend en général de t2. Cette grandeur caractérise
d'autant mieux la manière dont le mobile se déplace à l'instant t que
l'intervalle ?t = t2 - t est petit. Dès lors on définit la vitesse
instantanée à l'instant t par :
[pic]
La vitesse instantanée d'un point matériel est la dérivée de sa coordonnée
spatiale x par rapport au temps t, à l'instant considéré(*) :
[pic] (I.1)
Par conséquent, pour retrouver la position d'un mobile à chaque instant, à
partir de sa vitesse instantanée, on calcule l'intégrale :
[pic] (I.2)
Ceci implique la connaissance de la position du mobile à un instant donné
t0, soit : x(t0).

I.2.4 : L'accélération

L'accélération d'un mobile caractérise la variation de sa vitesse au
cours du temps. Procédant comme pour la vitesse, on définit l'accélération
à un instant t donné par :

[pic]

L'accélération instantanée d'un mobile est la dérivée de sa vitesse par
rapport au temps, à l'instant considéré :
[pic] (I.3)
Par conséquent, pour retrouver la vitesse d'un mobile à chaque instant, à
partir de son accélération, on calcule l'intégrale :
[pic] (I.4)
Ceci implique la connaissance de la vitesse du mobile à un instant donné
t0, soit : v(t0).

I.2.5 : Deux cas particuliers de mouvement rectiligne : le MRU et le MRUA

a) Le mouvement rectiligne uniforme (MRU)
Le MRU est un mouvement rectiligne à vitesse constante :
v(t) = v0
(I.5)
Par conséquent :

. [pic] a = 0 (I.6)
. [pic]>
x(t) = x0 + v0 (t - t0), pour le MRU,
(I.7)


où x0 ? x(t0). C'est une équation, représentée par une droite (voir figure
I.3).

[pic]
Figure I.3.
b) Le mouvement rectiligne uniformément accéléré (MRUA ou MRUV)
Le MRUA est un mouvement rectiligne à accélération constante :
a = a0 (I.8)
Par conséquent :
. [pic]>
v(t) = v0 + a0 (t - t0), pour le MRUA,
(I.9)
où v0 ? v(t0)
. [pic]
[pic]>
[pic], pour le MRUA (I.10)
La fonction x(t) est du second degré et la courbe à laquelle elle
correspond est une parabole (voir figure I.4).

[pic]
Figure I.4.
En éliminant t - t0 entre les relations (I.9) et (I.10), on trouve la
relation entre la variation de vitesse et le déplacement, valable
uniquement pour le MRUA :
(I.9) > [pic]
Dans (I.10) : [pic]
[pic]
Donc : v2 = v02 + 2a0 (x - x0), pour le MRUA
(I.11)

I.2.6 : Unités

L'unité de longueur du système international d'unités (S.I.) est le
mètre (m), celle du temps, la seconde (s). Par conséquent, dans le SI, les
vitesses se mesurent en mètre par seconde (m/s) et les accélérations en
mètre par seconde au carré (m/s2).

I.3 : Cinématique à plusieurs dimensions


I.3.1 : Repérage du mobile


Dans le cas d'une trajectoire quelconque dans l'espace à 3 dimensions
ou dans un plan, la position du mobile est entièrement déterminée par son
vecteur position à chaque instant [pic].
[pic]
Figure I.5.




[pic]
Ceci implique le choix d'une origine O. Dans un référentiel Oxyz, le
vecteur position peut s'exprimer en fonction de ses coordonnées
cartésiennes : x, y, et z.
[pic]
Figure I.6.
x = OPx y = OPy z = OPz
où Px, Py et Pz sont respectivement les projections du point P sur les
axes Ox, Oy et Oz.
Le vecteur position [pic] s'écrit en fonction de ses coordonnées :
[pic] (I.12)
où [pic], [pic] et [pic] sont des vecteurs de longueur unité dirigés
suivant les axes Ox, Oy et Oz.

I.3.2 : La vitesse instantanée

Tout naturellement, on généralise la notion de vitesse instantanée
vue dans le cas à une dimension, de la manière suivante :
[pic]
où [pic] est le vecteur déplacement entre les instants t et t + ?t.
[pic] (I.13)
La vitesse instantanée est donc un vecteur qui est la dérivée du vecteur
position par rapport au temps.
[pic]


Le vecteur [pic] peut s'écrire en fonction de ses coordonnées dans le
référentiel Oxyz, soit vx,
Figure I.7. vy et vz :

[pic] (I.14)
D'après (I.12) et (I.13), nous avons :

[pic]
car les vecteurs unité [pic], [pic] et [pic]sont constants. Dès lors, en
identifiant à (I.14),
il vient :
[pic] (I.15)

A la limite où ?t tend vers zéro, le vecteur [pic] tend vers un vecteur
tangent à la trajectoire (voir figure I.7). Le vecteur vitesse est donc
toujours tangent à la trajectoire. On peut donc l'écrire :

[pic] (I.16)


où [pic] est un vecteur unité tangent à la trajectoire au point considéré,
v est le module du vecteur [pic]. Il est donc donné par :
[pic]

I.3.3 : L'accélération instantanée

L'accélération instantanée s'obtient de manière analogue :
[pic],
où [pic] est la variation de vitesse entre les instants t et t + ?t.

[pic] (I.17)
L'accélération instantanée est donc un vecteur qui est la dérivée par
rapport au temps du vecteur vitesse. Le vecteur [pic] peut s'écrire en
fonction de ses coordonnées dans le référentiel Oxyz, soit ax, ay et az :
[pic] (I.18)
D'après (I.14) et (I.17), nous avons :
[pic]
En comparant à (I.18) et en tenant compte de (I.15), on obtient :

[pic] (I.19)

Pour voir quelle est la direction du vecteur accélération, il faut dériver
l'expression (I.16) :
[pic] (I.20)
En effet, le vecteur unité [pic] n