Devoir de SI Samedi 21 octobre MPSI - Exercices corriges

T.D. Cinématique 6

Exercice n°1 : Roulement à billes
Un roulement à billes est un composant utilisé pour créer une 'demi
liaison pivot' avec peu de frottement entre deux parties d'un mécanisme
(arbre mobile en rotation et bâti dans l'exemple qui suit). Il est
constitué de :
- une bague extérieure (E) supposée fixe dans le repère galiléen
R(O, , , ).
- une bague intérieure (I) liée à l'arbre du mécanisme, en rotation
autour de l'axe (O, ) par rapport à (E). On note RI (O, , , ) le
repère lié à (I), et (I/R) le vecteur rotation du mouvement de (I) par
rapport à R. (I/R) est constant.
- des billes roulent sans glisser sur les deux bagues (I) et (E), (
en A et B pour la bille (2) ). Les billes
ont des mouvements tels que leurs centres (C pour la bille (2)) se
déplacent dans le plan (O, , ).

La position de la bille (2) est repérée de la façon suivante :
- la position de son centre C est telle que est porté par , avec l'angle
(, ) = ?
- l'orientation de la bille autour de son centre est caractérisée par
l'angle ? = (,) = (, ), le repère (C, , , ) étant le repère lié à la
bille (2).

1 - Paramètrer le mécanisme et donner (I/R) = ? et
(2/R) = ?E
2 - Calculer (D?I/R). En déduire (A?I/R) en fonction de ?.
3 - Calculer (A/R), A étant le point géométrique de contact entre la
bille (2) et la bague intérieure (I).
4 - Donner ( B?E/R).
5 - En utilisant le fait que les billes roulent sans glisser sur les
bagues, calculer (A?I/R) en fonction de ?. En déduire une relation entre
? et ?.
6 - Calculer (C?2/R) de deux façons différentes. En déduire une
relation entre ? et .
7 - Donner les torseurs cinématiques des mouvements de I par rapport
à R et de (2) par rapport à R. Quel est le mouvement instantané de (2) par
rapport à R ? Donner sa base et sa roulante.

Exercice n°2 : Variateur à plateaux (F. U.)
Un variateur de vitesse est un mécanisme monté dans une transmission
de puissance entre le moteur et le récepteur, et chargé de transformer la
vitesse de rotation de l'arbre moteur en une autre vitesse de rotation
adaptée au récepteur et réglable.
Le variateur de vitesse représenté ci-dessous est constitué de deux
plateaux (1) et (2) en liaison pivot avec le bâti d'axes
(A, ) et (B, ). Le galet (3), en liaison pivot d'axe (C, ) par rapport
au bâti, roule sans glisser sur les deux plateaux en D et E.
Le galet (3) peut, par un mécanisme de réglage manuel non représenté,
être déplacé verticalement.
On note 10 la vitesse de rotation du plateau d'entrée (1) par rapport
au bâti, et 20 la vitesse de rotation du plateau de sortie (2) par rapport
au bâti.
1 - En écrivant le non glissement en D et en E, trouver la loi entrée-
sortie du mécanisme pour un réglage donné, c'est à dire la relation entre
?10 et ?20. (certaines caractéristiques géométriques du variateur
interviendront bien sûr dans la loi entrée-sortie).
On pourra auparavant calculer (D?1/0) en fonction de ?10; (E?2/0) en
fonction de ?20; et
(D?3/0) en fonction de(E?3/0).
2 - Montrer qu'en déplaçant le galet (3) et son axe verticalement, on
fait varier ?20 si ?10 reste constant.
3 - En pratique, le galet (3) n'est pas en contact avec le
plateau (1) en un point unique D, le contact se fait suivant une ligne
verticale. Montrer que la vitesse de glissement du galet par rapport au
plateau est non nulle en tout point de cette ligne autre que D (F par
exemple).

Exercice n°3 : Butée à billes
Soit une butée à billes permettant de réaliser une liaison pivot
d'axe (O,)
entre deux pièces (1) et (3) de révolution
d'axe (O,), entre lesquelles roulent plusieurs billes (2).
Soit r le rayon des billes (2). Soient A, B, C et D les points de
contact d'une bille avec (1) : (A et B), et (3) : (C et D). Soit R le rayon
de (3) au niveau du point C.
- Quel angle ? doit on donner à la pièce (3) pour que la butée
fonctionne bien, c'est à dire que le roulement se fasse sans glissement en
A, B, C et D ?

Exercice n°4 : Glissière à billes.
On crée une liaison glissière à éléments roulants entre les solides
(0) et (3) en mettant une rangée de billes (1) et une rangée de billes (2)
entre les solides (0) et (3).
Le centre de chaque bille (1) est sur l'axe (O1,). Le centre de
chaque bille (2) est sur l'axe (O2,) .
Le mouvement du solide (3) par rapport au bâti (0) étant une
translation de direction , pour tout point P, on a :
(P(3/0) = V où V est donné.
On suppose qu'il y a roulement sans glissement en A, A', B, B', C, C'
et D.
1 - Sans calculs, donner la forme du torseur cinématique du mouvement
d'une bille (1) par rapport au bâti (0), et le torseur cinématique du
mouvement d'une bille (1) par rapport au solide (3).
2 - Déterminer 1/0 et (O1(1/0). On notera R le rayon des billes (1)
et r le rayon des billes (2).
3 - Déterminer 2/0 et (O2(2/0).
4 - Calculer l'angle ? pour que (O1(1/0) = (O2(2/0).
5 - Au point A, y a-t-il du roulement, du pivotement entre la bille
(1) et le bâti (0) ? Même question en D pour la bille (2).

Exercice n°5 : Excentrique à cadre.
Ce mécanisme transforme un mouvement de rotation en un mouvement de
translation alternative.
La manivelle (1) est en liaison pivot d'axe (O, ) par rapport au
bâti. On note ? la norme de la vitesse de rotation constante de (1) par
rapport au bâti. Le piston (2) est en liaison glissière de direction par
rapport au bâti. Un doigt situé en M sur la manivelle (1) glisse dans une
lumière d'axe appartenant au piston (2). On note x la position de l'axe de
la lumière par rapport au point O.
1 - Calculer (M(1/0) et (M(2/0) en fonction des paramètres de
position des différents solides : ? et x.
2 - Calculer la vitesse de glissement (M(2/1). Etudier la variation
de sa norme.
3 - Retrouver les résultats de la question (2) en utilisant une
méthode graphique.
4 - Donner la loi entrée-sortie du mécanisme (relation liant x, ?,
et leurs dérivées). En déduire l'équation du mouvement du solide (2)
(relation donnant le paramètre de sortie du mécanisme : x en fonction du
paramètre d'entrée ?).

Exercice n°6 : Presse à friction.
[pic]

La commande du mouvement de translation du poinçon (3) d'une presse à
friction est représentée ci contre. Le mécanisme comprend :
-Le bâti (1) lié au repère de référence (O,,,),
-Le plateau (2) en liaison pivot d'axe (O,) avec (1).
-Le poinçon (3) en liaison glissière hélicoïdale d'axe (O3,)
avec (1).
Le poinçon (3) est également en contact avec le plateau (2) en I.
La rotation de (2) entraîne celle de (3) grâce à ce contact en I.
On donne : ?21 = 20 rad/s ; = -zI ; zI ( [0.2 m;0.7 m] ;
O3I = r = 0.4 m ; Vis de pas p = 0.1 m/tr.

1 - Quelle est la nature du mouvement 2/1 et celle du mouvement 3/1 ?
2 - Sachant que (I(3/2) = - , trouver une relation liant zI, r, ?21 et
?31.
3 - Exprimer le torseur cinématique {V (3/1) } en M puis en I en
fonction de zI, ?21, r et p.
4 - Exprimer zI en fonction du temps t ( à t = 0, zI = zI0 ).
5 - Calculer le temps mis par le poinçon pour effectuer sa course de
50 cm.
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R

2 r

I

?





2



2

I

?

O

A

C

B

D

E

I

1

4

3

2

E

D

2

F

B

A

C

3

1





D

120°

90°

2?

A'

A

B'

B

C

C'

O1

O2

0

2

3

1







1







3

?

O

A

B

C

D

2

D

120°

90°

2?

A'

A

B'

B

C

C'

O1

O2

0

2

3

1







O

A





M



R

?

2

1







O2

M

O3

I

O

Poinçon 3

Plateau 2

Bâti 1

Bâti 1

[pic]