Classe de seconde 3 - Corrigé du devoir maison de maths - Td corrigé

Classe de seconde 3 - Corrigé du devoir maison de maths

L'Exercice 2 a été corrigé en classe

Exercice 1



Résultat du cours utilisé plusieurs fois dans cet exercice : (O, I , J) est
un repère orthonormal du plan .
Soit x un nombre réel ? ] 0 ; ) [. Soit M le point associé à x par
enroulement sur le cercle trigonométrique de centre O.
cos x et sinx coincident respectivement avec cos et sin .



[pic]
x désigne un réel de l'intervalle ] 0 ; ) [.
I, A et B sont les points images de 0 , x et 2x sur le cercle
trigonométrique de centre O .
La perpendiculaire à la droite (OI) passant par A coupe (OI) en P et la
perpendiculaire à (OB) passant par A coupe (OB) en Q.
Les droites (OA) et (BI) se coupent en H.






1. Démontrer que l'aire du triangle OIB est : ) sin (2x) et que celle
du triangle OAP est : ) sin(x) cos(x).
Soit h la longueur de BD, la hauteur issue de B dans le triangle OIB
isocèle en O,où l'angle mesure 2x radians par hypothèse. x est un réel de
l'intervalle ] 0 ; ) [, donc 2x < ) . Dans le triangle rectangle OBD ,
sin = sin 2x = ) =h.
L'aire du triangle OIB est égale à ) = ) . aire OIB = sin 2x
Dans le triangle rectangle OAP , où = x , cos = cos x = ) = OP et sin =
sinx = ) = AP .
L'aire du triangle OAP est égale à ) ou encore à ) sin(x) cos(x).
aire OAP = ) sin(x) cos(x)

2. Démontrer que les triangles OIH et OHB sont rectangles et ont des
aires égales.
Dans le triangle IOB isocèle en O,la droite (OA) , bissectrice de l'angle
est aussi la hauteur et la médiatrice
relative au côté [IB ]
.On en déduit que la droite (OA) est perpendiculaire à la droite (IB). Donc
les triangles OIH et OHB sont rectangles en H.
La droite (OH) est axe de symétrie du triangle OIB , donc aire OHB = aire
OIH = ) aire OIB

3. Démontrer que les triangles OIH et OAP ont des aires égales.
Dans le triangle rectangle OIH, cos x = cos = ) = OH et sin x = sin =
) = IH .
Dans la première question , on a vu que OP = cos x et AP = sin x .
Aire OIH = ) = ) = ) = aire OAP .



4. Déduire des questions précédentes que l'aire du triangle OIB est le
double de celle du triangle OAP.
De la question 2, (aire OIH = ) aire OIB )et de la question 3 (aire OAP
= aire OIH ), on conclut : aire OIB = 2 × aire OAP

5. Exprimer sin(2x) en fonction de sin (x) et cos (x).
À partir des expressions des aires précédemment trouvées, encadrées plus
haut, on peut écrire :
) = 2 × ) sin(x) cos(x), ou encore : sin 2x = 2 × sinx × cosx












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Figure de l'exercice 1 - DM2