Les mathématiques

De la modélisation du monde au monde des modèles (1)

Le délicat rapport « mathématiques -réalité »


Jean-Claude DUPERRET
APMEP, IREM et IUFM Champagne-Ardenne


Intoduction

On est passé en 30 ans d'un enseignement dit de « structure » à un
enseignement dit de « modélisation », sans que cette évolution ait été
clairement explicitée. Cela renvoie à la question bien ambitieuse de la
modélisation, surtout lorsqu'on la pose sous l'angle des mathématiques. Si
la plupart des autres disciplines scientifiques ont pour objet de
« décrire » et de « modéliser » un point de vue du « monde réel », point de
vue différent suivant ces disciplines, comment les mathématiques peuvent-
elles s'inscrire dans ce rapport au monde réel ? Les mathématiques ont-
elles pour objet de « décrire » la réalité, ou ne se contentent-elles pas
d'une action intellectuelle sur une réalité déjà abstraite ? Qu'est-ce
qu'un modèle mathématique ? Y a-t-il unicité du modèle pour traduire une
« réalité », ou celui-ci n'est-il pas lié à « l'intention » de
modélisation ? En quoi la connaissance du modèle permet-elle « d'éclairer »
la réalité, voire de l'expliquer et d'avoir une attitude « opérationnelle »
et « décisionnelle ».
J'ai choisi l'angle de la modélisation pour « revisiter » des notions que
nous construisons dans nos classes, car celui-ci me paraît bien donner la
philosophie de ce que devrait être un enseignement de mathématiques pour
tous : donner un outil de pensée du monde dans lequel nous vivons en
s'appuyant sur un processus intellectuel de description, d'investigation,
d'action et de validation qu'il serait dommage de réduire aux seules
situations relevant de l'aléatoire (ce qu'on fait en général lorsqu'on
parle de modélisation). Pour essayer d'éclairer ces notions de
« modélisation » et de « modèles mathématiques », je m'appuierai sur de
nombreux exemples, liés à mon expérience d'enseignant et de formateur, et
aux questions que je me suis posées... et que je me pose encore !
Dans ce premier article, ce sera tout d'abord dans un cadre assez général
d'un enseignement de mathématiques pour tous, avec les mondes des
« formes » et des « quantités ». J'essaierai de faire un parallèle entre la
construction des mathématiques dans notre enseignement et dans l'histoire
(dont je ne suis pas un spécialiste, mais un modeste utilisateur !), et de
montrer ainsi que la construction de modèles de plus en plus complexes et
évolués éloigne de la « réalité », jusqu'à rendre impossible un retour au
monde réel.
Dans le second article (à paraître dans un prochain numéro du bulletin),
j'entrerai de façon plus approfondi dans les mondes de « l'information » et
de « l'incertitude » qui amèneront la réflexion sur les statistiques et les
probabilités. Et là, au contraire, le retour à la réalité sera constant, et
montrera la force de ce si bel outil intellectuel que sont les
mathématiques.

Ces deux articles reprennent en grande partie deux conférences que j'ai
faites lors de deux colloques : « Expérimentation et modélisation dans
l'enseignement scientifique : quelles mathématiques à l'école ? » organisé
par la COPIRELEM en juin 2007 à Troyes et « Les dés sont-ils à jeter ? »
organisé par les commissions, Inter-IREM Collège 2nd cycle , Statistique et
Probabilités en juin 2008 à Périgueux (voir les actes correspondants).

D'un enseignement de structure à un enseignement de modélisation...
ou les tribulations d'un enseignant de mathématiques en collège

Après une année de CPR à Lyon, j'ai commencé ma carrière en 1972 comme
professeur au collège Albert Camus, à La Chapelle Saint Luc, une ZUP située
à côté de Troyes. C'était l'époque des « mathématiques modernes » ! À
l'époque, ne se posait pas la question du rapport des mathématiques au
réel : les mathématiques étaient un magnifique édifice qui se construisait
de façon purement interne. Pour illustrer cela, je vais prendre quelques
exercices et définitions qu'on trouvait alors dans les manuels.


Les mathématiques « modernes » : une absence de rapport au « réel »


Des exemples d'énoncés :

En sixième, un des grands enjeux était l'écriture d'ensembles « en
extension » et « en compréhension », et le passage d'une écriture à
l'autre :

Collection Mauguin - classe de 6ème

Définissez en compréhension :
a) L'ensemble de lettres {v, w, x, y, z}
b) L'ensemble de nombres entiers {41, 43, 45, 47, 49}

On trouvait bien quelques tentatives d'interdisciplinarité :


Écrivez en extension un ensemble A formé de cinq éléments qui soient
des oiseaux. Une outarde peut-elle être un élément de A ?

On peut imaginer la tête des élèves sur la présence ou non de l'outarde
dans cet ensemble !

En cinquième, l'étude des relations occupait une place prépondérante. Sous
forme de boutade, je dirais volontiers que c'était « le royaume des
flèches », avec les différents diagrammes du programme. Voici un énoncé qui
se voulait certainement en prise avec le « quotidien ».


Collection Bréard - classe de 5ème

Dans l'ensemble des élèves de la classe, on considère la relation :
«...est né(e) la même année que... »
Est-ce une relation d'équivalence ?
Donner, le cas échéant, les classes d'équivalence.

On attendait des élèves qu'ils « récitent » en les adaptant au problème les
propriétés de réflexivité, de symétrie et de transitivité : « tout élève
est né la même année que lui même », « si un élève est né la même année
... »
On peut noter que, dans cet exercice, les classes d'équivalence sont
relativement immédiates !

Quelle définition des objets mathématiques ?

La définition des « objets mathématiques » se faisait sans aucune relation
au monde réel, mais uniquement dans la logique interne de construction des
différentes structures. Je ne peux pas résister au plaisir de vous rappeler
comment était à l'époque définie la droite affine en quatrième, époque où
« Thalès » n'était qu'un axiome servant à « coordonner » les différentes
structures des droites affines pour définir le plan affine :

Collection Mauguin - classe de 4ème

Soit ((, g) une droite réelle et H l'ensemble de toutes les bijections h
telles que :
(M () [h(M) = ag(M) + b] (a IR*, b IR)
Le couple ((, H) est appelé droite réelle affine obtenue à partir de g ; (
en est le support.

Je dois dire que je garde de cette époque le souvenir d'un enseignement
facile, entièrement géré par l'enseignant, laissant bien peu de place à une
réelle activité des élèves. Même les parents d'élèves regardaient, certes
avec un peu d'inquiétude, mais aussi avec une certaine « admiration » cette
construction des mathématiques qui ne faisait aucun écho à leur propre
parcours d'élève.



Les « nouveaux programmes » de 1986


C'est au contact des IREM que j'ai commencé à me poser la question de la
pertinence de ces mathématiques modernes, à la fois dans leur rôle de
sélection, mais aussi de leur capacité de construction d'un vrai outil
scientifique à la disposition des élèves et des autres disciplines.
Toutes ces questions fortement posées par différents instituts et
associations, dont l'APMEP, ont conduit aux nouveaux programmes de 1986, où
les mots-clés sont devenus pour le collège « activités » et pour l'école
« situations-problèmes », mettant en avant les problèmes concrets,
quotidiens, issus du monde réel, et prônant une démarche expérimentale. Le
mot de « modélisation » ne figure pas dans ces programmes.
Cette période fut pour moi une formidable « bouffée d'air frais » en tant
qu'enseignant, et me donna la chance de pouvoir développer un travail en
équipe aussi bien au niveau de mon collège qu'au niveau de la commission
« Inter-Irem Premier Cycle » investie dans les « suivis scientifiques »,
commission dont je fus alors le responsable.

Des spaghettis réels...

Dans le cadre de ces nouveaux programmes, j'essayais au maximum de mettre
les élèves en situation d'activité (versant parfois dans l'activisme), et
pour introduire l'inégalité triangulaire en quatrième j'eus une idée que je
trouvais a priori géniale : j'amenais des spaghettis en classe, en donnais
quelques uns à chaque élève, et leur demandais de les « casser » en trois
morceaux « au hasard ». Ils devaient alors essayer de faire un triangle
avec ces trois morceaux. Je leur demandais de mesurer la longueur de chacun
des morceaux, et de conjecturer à partir de cette mesure une règle qui
permette de discriminer les cas où ils obtenaient des triangles. L'état de
la classe à la fin de l'heure m'a déterminé à ne pas reconduire une telle
expérience !

...aux spaghettis mathématiques

Dans notre collège, nous suivions les classes de quatrième en troisième. Je
voulais revenir sur cette expérience pas très heureuse des spaghettis, et
pour ce faire, j'inventais le « spaghetti mathématique ». C'était un
spaghetti de longueur 1, avec équiprobabilité de « cassure » (ce qui est
évidemment inconcevable avec un spaghetti réel !). Et pour faire ces
cassures, j'utilisais la simulation. J'expliquais donc aux élèves ce
nouveau contexte, et leur proposais de faire ces cassures avec leur
calculatrice en utilisant la touche « random » qui leur donnait à l'époque
un nombre compris entre 0 et 1 avec 3 chiffres après la virgule. Avec 3
tirages aléatoires (ex : 0,167 ; 0,534 ; 0,435), ils simulaient la cassure
de 3 spaghettis mathématiques, et pour donner un sens « tangible » à
l'expérience, je leur proposais de multiplier par 100 chacun des nombres
obtenus, ce qui le