Exo1 Etude d'un oscillateur 5,5 pts Correction

Correction 09/2005 Polynésie EXERCICE I : ÉTUDE D'UN OSCILLATEUR (5,5
points)....
I - L'oscillateur harmonique
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1. Le système étudiée est la masse. L'étude du mouvement de la masse est
réalisée dans le référentiel terrestre, supposé galiléen.
La masse est soumise à 3 forces:
- le poids [pic]= m. [pic] vertical vers le bas , appliqué en G
- la réaction du rail [pic], verticale vers le haut car la masse se
déplace sans frottement, appliquée en C.
- La force de rappel du ressort [pic], horizontale orientée vers le
point O: [pic]= - k.x.[pic] , appliquée au point A.











2. La deuxième loi de Newton, appliquée à la masse donne:
[pic] + [pic] + [pic]= m.[pic]
En projection suivant l'axe horizontal (Ox) orienté selon le vecteur
unitaire [pic], il vient:
0 + 0 - k.x = m.ax = m.[pic]
soit [pic]+ [pic] = 0
On constate que l'équation différentielle du mouvement s'écrit bien:
[pic] avec [pic]
3. Montrons que l'expression x(t) = A.sin((0 t+ [pic]) est solution de
cette équation différentielle:
[pic]= A.(0.cos((0.t + [pic])
[pic]= -A.(0².sin((0 t + [pic]) = - (0².x
En reportant dans l'équation différentielle:
[pic] - (0².x + (0².x = 0.
L'expression x(t) = A.sin((0 t + [pic]) est bien solution de l'équation
différentielle du mouvement.
4. Les conditions initiales sont: à t = 0 s, x0 = 2 cm et [pic] = 0
donc: x(0) = x0 = A.sin([pic])
et [pic]= 0 = A.(0.cos([pic]) donc cos([pic]) = 0 soit [pic] = ( ( /
2
Or x0 et A sont positifs donc sin([pic]) > 0 donc la seule valeur de [pic]
possible est: [pic] = + ( / 2
Et x0 = A.sin((/2) soit x0 = A = 2 cm
Finalement, en exprimant x(t) en cm: x(t) = 2 sin((0.t + (/2) = 2
cos((0.t)
x(t) = 2 cos((0.t)
5. La période propre To des oscillations est telle que: x(t) = x(t + To)
cos((0.t) = cos((0.t + (0.To)
Une solution est: (0.To = 2( (modulo 2()
Donc: To = [pic] finalement: To = [pic]

II - Etude énergétique
1. Soit [pic] une force extérieure appliquée au ressort qui maintienne le
ressort avec un allongement x constant. Cette force est opposée à la force
[pic] de rappel du ressort, donc [pic]= k.x.[pic]










Pour provoquer un allongement supplémentaire très petit (x de l'extrémité
du ressort (pour lequel [pic] est restée constante), il faut fournir le
travail élémentaire (W tel que:
(W = [pic].[pic]=k.x. [pic] . (x. [pic] = k.x.(x
Par intégration, le travail W effectué par la force [pic] pour un
allongement x à partir de l'origine O est alors:
W = [pic]= ½.k.x² avec k constante.
Par méthode graphique:
Le travail élémentaire (W correspond à l'aire du petit rectangle,
en gris foncé, de hauteur k.x et de largeur (x.

Le travail W correspond à l'aire du triangle en gris clair,
dont les cotés ont pour longueur x et kx.
Soit W = ½.k.x²
W est la somme des aires des petits rectangles.

2. L'énergie potentielle élastique Epe du système {masse - ressort} est
égale au travail W de la force [pic] soit:

Epe = ½.k.x²
à une constante additive près choisie nulle ici.

3. L'expression de l'énergie cinétique est Ec = ½.m.vx²

L'expression de l'énergie totale du système est: Em = Ec + Epe = ½.m.vx² +
½.k.x²

4. L'énergie mécanique du système reste constante car la masse oscille sans
frottement sur le rail.
À l'instant initial pour lequel x = x0 et vx = 0 m.s-1:
Em = ½ . k . x0²

III - application a la molecule de chlorure d'hydrogene
1. On a: To = [pic].
Il faut exprimer m la masse d'un atome d'hydrogène en fonction des données.
La masse molaire atomique est la masse d'une mole d'atomes d'hydrogène,
soit la masse de NA atomes d'hydrogène.
Donc m = [pic].
Alors To =[pic] Attention M à exprimer en kg.mol-1
To = [pic]
To = 1,13(10-14 s

2. On observera le phénomène de résonance lorsque le résonateur est excité
par une onde électromagnétique de fréquence [pic]égale à 1 /To:
[pic] = [pic]= 8,82.1013 Hz calcul effectué avec la valeur non
arrondie de T0

3. Dans le vide, on a la relation: [pic] soit ( = c ( To
( = 3,00(108(1,13.10-14 = 3,40(10-6 m = 3,40 (m. calcul effectué
avec la valeur non arrondie de T0

Sachant que les longueurs d'onde, dans le vide, des ondes lumineuses sont
comprises entre 400 nm (violet) et 800 nm (rouge); soit 0,400 (m et 0,800
(m, la radiation de l'onde excitatrice correspond au domaine de
l'infrarouge car ( > 0,800 (m.

4. Soit m' la masse du deutérium qui est le double de la masse de
l'hydrogène: m' = 2.m, alors:
T 'o = [pic] =[pic]= [pic] = [pic].To.
La fréquence propre de vibration [pic]' est alors: [pic]' = [pic] ;
[pic]' = [pic]
Si la masse double alors la fréquence de vibration est divisée par racine
de 2.















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-----------------------
G

O

x

[pic]

A

C

[pic]

[pic]

[pic]

kx

(x

[pic]


x

x

T

O

x

x

O

T = k.x







[pic]