LP 60 Puits de potentiel : exemples et applications

LP 60 Puits de potentiel : exemples et applications
En physique quantique.
Intro : nous allons étudier ici des situations physiques très simples qui
permettent la résolution exacte de l'équation de Schrödinger. Les
potentiels considérés seront ici carrés, et nous verrons qu'en dépit de
leur forme grossière ils constituent une base fondamentale pour
l'interprétation de phénomènes divers, tant en mécanique statistique qu'en
physique du solide. Ces potentiels sont appelés puits en raison de leur
forme.
A) Le puit de potentiel carré:
1) Généralités:
Les forces qui lient les neutrons et les protons dans les noyaux sont des
forces très intenses dont l'effet ne se fait sentir qu'à très courte
portée. On modélise alors ces interactions par des potentiels de la forme:
[pic] ([pic]pour [pic] et [pic] pour [pic]. De tels potentiels sont
appelés potentiels carrés. Leur emploi a permis, en ajustant les paramètres
[pic]et [pic], de rendre compte qualitativement des phénomènes nucléaires,
par exemple la liaison du proton et du neutron constituant le noyau
d'hydrogène. Par ailleurs, ils sont la base de développements à plusieurs
dimensions ou à plusieurs puits qui modélisent des situations physiques
plus complexes.
Pour l'étude de se problème, nous nous placerons dans une situation
unidimensionnelle, où les coordonnées d'espace seront repérées par x et les
bornes du puits par -a et a.
De manière générale, entre deux discontinuités, le potentiel V est
constant et l'équation de Schrödinger aux états stationnaires va s'écrire:
[pic]. Deux cas se présentent alors:
- si [pic], on a [pic], avec [pic]
- si [pic], on a [pic], avec [pic]
2) Etats liés [pic]
Il faut distinguer les trois domaines. Dans les domaines de potentiel
[pic], la solution générale s'écrit:
[pic], avec [pic] et [pic]
Les conditions aux limites vont nous permettre de déterminer les six
constantes, ou au moins des relations entre elles.
Tout d'abord, la probabilité de présence de la particule ne peut tendre
vers l'infini à l'infini, ce qui implique que [pic].
Par ailleurs, on remarque que les conditions physiques sont invariantes
par symétrie autour du centre du puits, ce qui implique que le module de la
fonction d'onde doit être une fonction paire de x, ce qui impose que [pic].
Cependant, la réflexion d'espace doit également vérifier que le
symétrique du symétrique soit identique à l'objet, ce qui implique que
[pic], ce qui impose que [pic]. On peut donc, pour simplifier le problème,
considérer séparément les fonctions d'ondes paires et les fonctions d'ondes
impaires, dont la réunion donne l'ensemble des états stationnaires.
On doit alors avoir:
[pic].
On en déduit alors la forme générale des fonctions d'ondes:
Fonctions paires:
[pic]
Fonctions impaires
[pic]
Ensuite, il faut exprimer les conditions aux limites du puits. D'une
part, la réalité physique du module de la fonction d'onde comme amplitude
de probabilité impose à la fonction d'onde d'être continue. De plus, on
peut montrer que, pour une discontinuité finie, la dérivée de la fonction
d'onde est également continue.
On a alors:
Fonctions paires:
[pic],
soit [pic].
Pour les fonctions impaires, on trouve de même [pic]
Ces équations sont transcendantes mais on peut déterminer les énergies
propres associées à chacun des états stationnaires en résolvant
graphiquement les équations ci-dessus. Pour cela, on écrit:
[pic], soit [pic], soit [pic], ce qui donne alors:
[pic], avec [pic], caractéristique du puits.
Pour les solutions impaires, on obtient [pic].
Il faut alors se souvenir que seuls les points correspondant à [pic] et à
[pic] sont valables. Notons qu'il y a toujours un état lié, et celui-ci est
pair. On remarque par ailleurs que, contrairement au cas limite du puits
infini et également contrairement à ce que l'on trouve en mécanique
classique, la particule n'a pas une probabilité non nulle de se trouver
hors du puit, où elle est pourtant "localisée" pour l'essentiel. On peut
donc dire qu'en raison de la nature non locale de la particule, tout se
passe comme si le puits avait une largeur effective supérieure à a.
3) Etats de diffusion:
Ce sont les états avec [pic], qui correspondent à la situation physique
où une particule est émise en [pic], là où ne règne aucun potentiel. Dans
la région du puits, la particule est soumise à un potentiel attractif
[pic]. Il s'agit donc, par analogie avec la mécanique classique, d'une
expérience de diffusion par un potentiel attractif de portée a. C'est la
raison pour laquelle on donne le nom d'états de diffusion aux états non
liés.
La fonction d'onde a pour expression, en posant [pic]pour ne signifier
qu'il n'y a pas de source de particules en [pic] (on ne peut utiliser ici
la parité puisque la source n'existe que d'un seul côté):
[pic], avec [pic]et [pic]
Les conditions aux limites s'expriment alors comme suit, en faisant
intervenir la continuité de la fonction d'onde et de sa dérivée:
[pic]
On dispose ainsi d'un système à quatre équations et cinq inconnues, ce
qui permet d'exprimer les quatre en fonction de l'une d'elle. On note déjà
que contrairement aux états liés, les états de diffusion ne sont pas
quantifiés, ce qui est normal vu que la particule n'est pas confinée dans
une région de l'espace.
Deux coefficients particulièrement intéressant sont les amplitudes des
ondes réfléchie et transmise, [pic] et [pic]. Comme on peut les exprimer
uniquement en fonction de [pic], on peut définir des facteurs de réflexion
et de transmission en amplitude par:
[pic]
En réalité, seul le coefficient en réflexion [pic] caractérise vraiment
la diffusion. En effet, le coefficient en transmission [pic] peut être
considéré comme la somme de l'onde incidente et de l'onde diffusée vers
l'avant.
Le calcul donne pour ces coefficients:
[pic], avec [pic]
Sans nous étendre d'avantage dans l'étude assez complexe des états de
diffusion, nous pouvons remarquer qu'il existe des valeurs de K et k, et
donc de E, pour lesquelles:
- R s'annule. Ceci constitue le phénomène de "transparence"
- R est maximal. Ceci constitue le phénomène de résonnance.
3) Applications.
Une des principales applications du puit de potentiel carré, et plus
particulièrement des résultats sur les états liés, et le deutéron, c'est-à-
dire le noyau de l'atome d'hydrogène constitué d'un neutron et d'un proton.
L'interaction nucléaire est alors schématisée par:
[pic]. On peut alors considérer ce potentiel comme un demi potentiel en
puit carré, pour lequel on impose [pic], c'est-à-dire [pic]impaire, de
potentiel [pic]et de largeur [pic]. De plus, expérimentalement on observe
que le deutéron est le seul état lié du système proton neutron observé, et
que son énergie de liaison vaut [pic]. Par ailleurs, la portée des actions
nucléaires est de l'ordre de [pic]. S'il n'existe qu'un état lié, on voit
graphiquement qu'il faut [pic], c'est-à-dire [pic], et aussi [pic]. On a
alors, comme [pic],où m est la masse réduite du système et vaut la moitié
de la masse commune du neutron et du proton M, [pic]. Ce raisonnement
simple nous permet de déduire l'ordre de grandeur des potentiels
d'interaction nucléaire: [pic].
L'application des états de diffusion est l'interprétation de l'effet
Ramsauer - Townsend, qui montre que la section efficace de diffusion des
électrons par des atomes de gaz rare devenait très petite pour une certaine
valeur de l'énergie. C'est le phénomène de transparence observé plus haut
qui est à l'origine de ce phénomène. Le cas des phénomènes de résonance
revêt également une importance fondamentale en physique nucléaire
puisqu'elle permet de comprendre la formation d'états quasi liés, certes
non stationnaires, mais à énergie presque définie, et qui ont une durée de
vie appréciable. En effet, c'est dans les situations de résonance que le
potentiel attractif a le plus d'effet et la particule se retrouve en
quelque sorte coincée dans le puits et la "désintégration" de cet état est
en exponentielle décroissante du temps.
B) Puit double:
1) Généralités et résolution:
Considérons une distribution de potentiel définie comme:
[pic]
On se limite ici aux cas [pic], c'est-à-dire le cas où, classiquement,
une particule demeure dans un des puits.
Si on procède comme précédemment, on trouve l'expression de la fonction
d'onde: Fonctions paires [pic], avec [pic] et [pic] Fonctions impaires [pic]
Si on exprime alors les conditions aux limites, on obtient:
[pic] pour [pic]
[pic] pour [pic]
Restreignons nous au cas ou [pic], c'est-à-dire [pic].
Nous pouvons alors écrire [pic], le signe + correspondant à [pic] et le
signe - à [pic]. On peut alors résoudre le problème par résolution
graphique, encore une fois:
On voit alors tout de suite que:
- [pic]est inférieur à [pic]
- [pic] et [pic]sont tous deux inférieurs à [pic]pour leur valeur dans
le "premier" état correspondant.
- Les énergies respectives de ces états [pic] et [pic] sont telles que
[pic].
Par ailleurs, dans notre approximation, on a [pic]et [pic], et on obtient
alors pour la différence d'énergie [pic], en utilisant le fait que [pic].
Comme [pic]est la largeur de la barrière, on a:
[pic]
Nous voyons donc avec cette modélisation simple que contrairement à un
système classique, la particule a une probabilité de pr