Exercice I:Chute d'une goutte de pluie (5,5 points)

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Exercice II : CHUTE D'UNE GOUTTE DE PLUIE (5,5 points)

1. TEMPS CALME

1.1.1. La valeur de la poussée d'Archimède de l'air sur la goutte de pluie
est égale à la valeur du poids de l'air déplacé par la goutte : FA =
(2.V.g.

1.1.2. [pic]
1.1.3. [pic]= 0,77 × 1000 = 7,7 × 102
La valeur P du poids de la goutte de pluie est environ 770 fois plus grande
que la valeur FA de la poussée d'Archimède : donc FA est bien négligeable
devant P.

1.2.1. Le système est la goutte de pluie et son mouvement est étudié dans
le référentiel terrestre supposé galiléen. On choisit un axe vertical (Oz)
orienté vers le bas selon le vecteur unitaire [pic] (voir schéma). En
négligeant la poussée d'Archimède, la goutte est soumise à :
- son poids : [pic] avec [pic]
- la force de frottement : [pic]
La deuxième loi de Newton donne :
[pic] + [pic] = [pic]
En projection de selon (Oz) :
mg - K.vG = m.aG
mg - K.vG = m.[pic]
[pic] = g - [pic].vG
Finalement :
[pic] = -[pic].vG + g
L'équation obtenue est bien de la forme : [pic] = A.vG + B
avec : A = -[pic] et B = g

1.2.2. B a la même unité que g donc B s'exprime en m.s(2.

D'après l'équation différentielle A.vG à la même unité que B donc
A.vG s'exprime en m.s(2
Comme vG s'exprime en m.s(1 alors A s'exprime en s(1.

1.3.1. Accélération à la date t = 3,4 s : [pic]
[pic] = - 3,24(10-1 (21,0 + 10 = -3,24 ( 2,10 + 10 = - 6,80 + 10 =
3,2 m.s(2
1.3.2. Vitesse à la date t = 3,6 s :
vG(t = 3,6) = vG(t = 3,4) + [pic] . (t
vG(t = 3,6) = 21,0 + 3,2 × 0,2 = 21,0 + 0,64 = 21,6 m.s(1.
1.3.3. Pour que les valeurs des vitesses calculées par la méthode d'Euler,
soient les plus proches possibles des valeurs réelles, il faut diminuer le
pas de calcul (t.
1.4.1. Comme aG = [pic] alors la valeur de l'accélération est égale au
coefficient directeur de la tangente à la courbe vG(t). Graphiquement, on
constate qu'au cours du temps [pic] diminue, donc l'accélération diminue au
cours du temps.

1.4.2. Lorsque le régime permanent est atteint, vG est constante donc aG =
[pic] = 0. En régime permanent l'accélération est nulle.
La deuxième loi de Newton donne alors : [pic] + [pic] = [pic]. Ainsi [pic]
+ [pic][pic] donc en projection selon l'axe vertical (Oz) orienté vers le
bas : P - f = 0 soit finalement : P = f.
En régime permanent, la valeur du poids est égale à celle de la force de
frottement.

1.4.3. En régime permanent vG = vlim et P = f
( m.g = K. vlim finalement : [pic]

2. TEMPS VENTEUX

2.1. Après la rafale de vent, la goutte n'est soumise qu'à son poids.
La deuxième loi de Newton impose alors :
[pic] = [pic] ( [pic] = [pic] ( [pic] = [pic]
En projection dans le repère (Oxy), il vient : [pic]
Comme [pic] alors [pic] donc [pic]
À t = 0 on a : [pic] donc [pic] ( [pic]
D'où : [pic]
Comme [pic] alors [pic] donc [pic]
A t = 0 on a : [pic] ( [pic]
Finalement : [pic]

2.2. On isole le temps « t » de l'équation : x = v2.t que l'on reporte dans
y(t) :
[pic] ( [pic] finalement [pic].
Il s'agit de l'équation d'une parabole.
-----------------------































[pic]

[pic]

[pic]

x

y

[pic]

[pic]

O

G

[pic]

[pic]

z

[pic]

O