Physique. Devoir Surveillé 8. - Free

¤ PCSI ¤ 2007/2008. Durée : 4h. Calculatrice autorisée.


Physique. Devoir Surveillé 8.



Il est rappelé que votre copie est destinée à être lue et corrigée. En
conséquence, une présentation claire et lisible est recommandée. Il en sera
tenu compte dans la notation.


Exercice 1. Planètes. (extrait Ecoles des Mines d'Albi, Alès, Douai, Nantes
2007)
Nous voulons étudier le mouvement d'une planète P, assimilée à un point
matériel dans le champ de gravitation d'une étoile de masse [pic] de centre
O, considérée comme ponctuelle et fixe. La planète de masse [pic] est
située à une distance [pic] de O. Nous considérerons un référentiel lié à
l'étoile comme un référentiel galiléen.

1. Exprimer la force exercée par l'étoile sur la planète en
fonction des masses [pic] et[pic], [pic], [pic], la constante
universelle de gravitation et le vecteur unitaire [pic] =[pic].
2. Justifier précisément que le mouvement est plan. Préciser ce
plan. On notera [pic] la base de projection dans ce plan et[pic] ,
un vecteur unitaire suivant la direction du moment cinétique en O,
[pic]. Rappeler l'expression de la vitesse en coordonnées polaires.
Préciser l'expression de [pic] en fonction de[pic].

3. On suppose dans cette question que la planète décrit un mouvement
circulaire de rayon [pic] et de période[pic]. On notera[pic], le module de
la vitesse pour un mouvement circulaire.

3.1. Etablir l'expression de la vitesse de la planète, [pic] en
fonction de[pic],[pic] et[pic].
3.2. En déduire une relation entre[pic],[pic] et [pic] (3ème loi de
Képler).
3.3. Exprimer alors la vitesse [pic] en fonction de[pic],[pic] et[pic].
3.4. En déduire l'énergie cinétique et l'énergie mécanique en fonction
de[pic],[pic], [pic] et [pic].

4. On rappelle que l'équation polaire d'une ellipse est [pic] où [pic]
est une distance appelée paramètre et[pic], un coefficient positif sans
dimension appelé l'excentricité compris entre 0 et 1. On se propose
d'étudier le mouvement de la planète à l'aide du vecteur excentricité,
[pic] où [pic] est la vitesse de la planète et [pic] est un vecteur
orthogonal au ½ grand axe de l'ellipse (voir figure ci-dessous). Aucune
connaissance sur ce vecteur n'est nécessaire pour répondre aux questions
suivantes.


[pic]

4.1. Montrer que ce vecteur est constant au cours du temps.
4.2. En faisant le produit scalaire [pic] et en s'aidant du dessin,
montrer que [pic] et en déduire que le module de [pic] vaut
l'excentricité [pic] de la trajectoire.
Préciser [pic]en fonction de [pic] et[pic].
4.3. Préciser la valeur de l'excentricité pour un mouvement
circulaire.
4.4. Dans le cas d'un mouvement circulaire, préciser la valeur de
[pic] en fonction de [pic] [pic] et[pic]. Retrouver à l'aide du
vecteur excentricité, l'expression de la vitesse de la planète,
[pic] en fonction de[pic],[pic] et[pic].



Exercice 2. Modèles d'atmosphère. (d'après Centrale).
L'air, considéré comme un gaz parfait, est en équilibre statique dans le
champ de pesanteur terrestre g supposé constant. On désigne par Oz l'axe
vertical ascendant et on étudie l'évolution de la pression P, de la
température T et de la masse volumique ? en fonction de l'altitude z du
point considéré.


On pose :


[pic], [pic]

1. On suppose l'air en équilibre. Etablir sous forme différentielle
l'équation qui régit l'équilibre de l'air sous l'action des forces
de pression et des forces de pesanteur.
2. Dans le cas où l'atmosphère est en équilibre isotherme à la
température[pic], déterminer la pression et la masse volumique à
l'altitude z en fonction de[pic], z et g.
A.N. A quelle altitude [pic]a-t-on [pic] ?

3. Dans le modèle de l'atmosphère adiabatique, on admet qu'il existe entre
P et ? une relation de la forme : [pic]où ? est une constante.

3.1 Montrer que T vérifie l'équation différentielle suivante :
[pic]où ? est une constante que l'on exprimera en fonction de[pic].
Remarque : Pour établir ce résultat il est bon d'utiliser la
différentielle logarithmique : [pic].
3.2 En déduire alors T(z), P(z) et ?(z) en fonction de [pic]
3.3 Montrer que, dans ce modèle, l'atmosphère est limitée et
calculer l'altitude limite [pic]dans le cas où ? = 1,4.
3.4 Quelle valeur faudrait-il donner à ? pour que ce modèle coïncide
avec celui de l'atmosphère isotherme ? [pic]




Exercice 3. Etude d'une centrifugeuse. (d'après Concours National DEUG
2000).


Le système présenté figure 1 représente une centrifugeuse de laboratoire.
Il est composé d'un bâti (0), d'un rotor (1) et d'une éprouvette (2). Il
sert généralement à séparer deux liquides, de masses volumiques
différentes, contenus dans l'éprouvette (2).


Le rotor (1) est entraîné en rotation autour de l'axe [pic] par un moteur
électrique à la vitesse angulaire[pic]. Sous l'effet centrifuge de cette
rotation, l'éprouvette (2) pivote autour de [pic] d'un angle ?, provoquant
ainsi la séparation des deux liquides. Le liquide dont la masse volumique
est la plus grande est rejeté dans le fond de l'éprouvette.


Le référentiel terrestre [pic] est considéré comme galiléen ; il est
rapporté au repère[pic]. Le référentiel [pic]est associé au bâti (0).


On notera [pic] le référentiel rapporté au repère orthonormé direct
[pic]tel que[pic]. Le repère[pic] rigidement lié au rotor (1), se déduit à
chaque instant de[pic]par une rotation d'angle [pic] autour de l'axe[pic] .


On notera[pic]le référentiel rapporté au repère orthonormé direct [pic]tel
que[pic]. Le repère[pic], rigidement lié à l'éprouvette (2), se déduit à
chaque instant de[pic]par une rotation d'angle[pic]autour de l'axe[pic].


On définit les vecteurs suivants : [pic]et[pic].


Dans une première approche, on considérera que la séparation des deux
liquides n'entraîne pas de modification dans la position du centre de
gravité de l'éprouvette donc la distance [pic] est constante au cours du
temps.


[pic]


On donne ci-après l'orientation des différents repères les uns par rapport
aux autres :


[pic]

1. Exprimer dans[pic]la vitesse angulaire[pic]du
référentiel[pic]par rapport à[pic].
2. Déterminer la vitesse [pic] du point A lié au rotor (1) par
rapport à [pic]et exprimer la dans[pic].
3. Que peut-on dire des vitesses [pic]du point A lié au rotor (1)
par rapport à [pic]et[pic]du point A lié à l'éprouvette (2) par
rapport à [pic]? Justifier.
4. Déterminer la vitesse [pic]du point G lié à l'éprouvette (2) par
rapport à[pic]et exprimer la dans[pic].
5. Déterminer l'accélération[pic] du point G lié à l'éprouvette (2)
par rapport à [pic] et exprimer la dans[pic].