SujetEntrainement-2.doc - NTE Lyon 1

Février 2002
Les Capteurs à la préparation au CAPES Problèmes d'entraînement 2ème série
A - Conductibilité dans les solides.
A.1 - Conduction métallique
Un fil de cuivre de diamètre = 0,6 mm est parcouru par un courant
I = 2,00 A. La chute de tension aux bornes de ce fil est de 2,00
Volt pour une longueur de L = 16,63 m. La masse volumique du
cuivre est de ? ' 8,9 g/cm3, sa masse molaire M = 63,5 g ,
N = 6,022.1023 et e = 1,6.10-19 C 1) Déterminer la résistivité du cuivre. 2) Calculer le champ électrique dans le conducteur et la vitesse
moyenne des électrons.
3) Calculer la mobilité ? des électrons.
On supposera que chaque atome de cuivre fournit un électron de
conduction.
A.2 - Semi-conducteurs intrinsèques On considère du Germanium, du Silicium et de l'Arséniure de
Gallium. On connaît leurs mobilités à 27°C ainsi que les énergies
d'activation Wa (gap) et le nombre d'atomes par cm3 de cristal :
___________________________________________________________________
________________________
Semi-conducteur
Wa
?
?n
?p
N
(eV)
(?.cm)
(cm2 V-1s-1)
(cm2 V-1s-1)
(At/cm3)
___________________________________________________________________
________________________
GE 0,66
44
4000
1900
4,4.1022
Si 1,12
2,2.105
1400
500
5,0.1022
AsGa 1,43
7.107
8500
400
22.1022
___________________________________________________________________
________________________
1°) Calculer les nombres ni de porteurs libres par unité de volume
et les nombres de porteurs par atomes.
2°) Calculer les nombres de porteurs libres et les résistivités à
127° C
3°) Quelles sont les longueurs d'onde du photon émis par rupture
de liaison de covalence dans ces semi-conducteurs ?
k = 1,38.10-23J/K ;
h = 6,26.10-34 J.s ;
c = 299792458 m/s.
4°) L'approximation de ? indépendant de T est-elle légitime ?
Reprendre le calcul en posant ? = A.T -2.
A.3 - Semi-conducteurs dopés
Soit un cristal de Germanium à 300K pour lequel la concentration
en porteurs intrinsèques est : ni = pi = 2,5.1019 m-3.
La mobilité des électrons à cette température est ?n ' 3600 cm2V-
1s-1 et celle des trous de
?p = 1700 cm2 V-1s-1 . Le cristal est dopé par des atomes
donneurs dont la concentration est 5.1016 cm-3 Tous les atomes
donneurs sont supposés ionisés.
a) Calculer la concentration en électrons et en trous ainsi que la
résistivité du matériau dopé, à 300 K.
b) On élève la température jusqu'à 400 k. Sachant que pour le
Germanium la concentration en porteurs ni ( ou pi) double tous
les 10 degrés, calculer les concentrations en électrons et en
trous ainsi que la résistivité du matériau dopé à 400 K.
c) L'approximation nN voisin de ND faite en a) est-elle légitime
?
B - Effet Hall ; quelques questions de sensibilisation :
- L'expression générale de la conductivité d'un semi-conducteur
permet-elle de dire si le courant des porteurs de charge positive
(les trous) est compensé par celui des charges négatives (les
électrons) ou non ?
- Peut-on prévoir si la ddp Hall des trous s'ajoute, se compense
ou se soustrait à celle des électrons ?
- Est-ce que l'effet Hall est une manipulation pertinente pour
reconnaître le type de porteurs majoritaires (électrons ou trous)
du semi-conducteur dopé étudié ?
- Pour avoir la plus forte tension Hall a-t-on intérêt à employer
un métal (grand nombre d'électrons libres se déplaçant très
lentement), un semi-conducteur intrinsèque (peu d'électrons plus
rapides) ou un semi-conducteur dopé ?
Le champ électrique crée par les charges déplacées peut-il encore
compenser les forces de Laplace des 2 types de porteurs (électron
et trous) ? Comment fait-on alors pour calculer la constante de
Hall ?
La réponse à ces questions pourra être donnée à l'issue de la
résolution des exercices ci-dessous.
B.1 - Effet HALL dans un métal
Soit un conducteur de sodium traversé par un courant de densité J
= 107 A/m2 et soumis à un champ magnétique de 1 Tesla ; on
demande la ddp Hall mesurée entre les deux faces distantes de 1
cm.
On supposera que chaque atome fournit un électron de conduction.
(Rép. n = 2,5.1028 atomes/m2 et VHall = 25.10-6 Volts )
B.2 - Effet HALL dans un semi-conducteur intrinsèque :
Soit un semi-conducteur intrinsèque où ?n = 3600 cm2 / V / s et
?p = 1700 cm2 / V / s .
1 ) Calculer les concentrations des porteurs de charges (
électrons et trous ) sachant que la résistivité à 300 K est de 47
?.cm
2 ) Déterminer la largeur de bande interdite sachant
qu'expérimentalement, la conductivité varie avec la température
comme T3/2.exp (-4350 / T ) ; on supposera que les mobilités sont
indépendantes de la température.
On donne la constante de Boltzmann k = 1,38.10-23 J / K.
3 ) En fait la largeur de la bande interdite varie avec T selon
Eg = Ego - ? .T
Donner les concentrations n et p en fonction de la température et
calculer ? (en eV), sachant
que les concentrations mesurées sont 1,79 fois plus grandes que
celles calculées théoriquement.
4 ) La constante de Hall, définie par Eh = - Rh . J B, est
donnée dans le cas d'un semi-conducteur intrinsèque par :
( ? n - ?p )
Rh = ------------------------ formule que l'on
redémontrera au § B.4
ni.e. ( ?n + ?p )
Calculer la f.e.m. de Hall entre les bornes A et B de
l'échantillon traversé par un courant I et placé dans un champ
magnétique B.
dimensions : L = 10 mm; l = 2 mm; h = 0,2 mm. ; I = 10 mA ; B =
0,1 T
B.3 - Effet HALL dans un semi-conducteur fortement dopé :
a) Etablir la relation entre la ddp Hall mesurée et le champ
magnétique appliqué.
b) Donner le sens de l'induction B appliquée dans le cas où B =
0,1 T ; I = 20mA ;
Umn = +10 V ; Uab = +62,5 mV ;
lAB = 1 cm selon I ; lMN = 2 cm selon VHall ; h = 2 mm selon B .
Dopage du cristal de type N, tel que l'on puisse supposer que la
conduction ne se produise que par les électrons.
c) Calculer la résistivité et la conductivité du cristal.
d) Calculer les concentrations en porteurs.
e) Calculer la mobilité des porteurs.
B.4 - Etude de l'effet HALL dans un semi-conducteur dopé
- cas général : présence des 2 types de porteurs de charge
Soit un semi-conducteur parallélépipèdique traversé par un courant
d'essai I, selon l'axe des x et soumis à une induction magnétique
B dirigée selon oz.
[pic]
Sa conductivité est de type extrinsèque:
- Les électrons ont une densité n (par m3), une vitesse vn et une
mobilité ?n .
- Les trous ont une densité p (par m3 ), une vitesse vp et une
mobilité ?p
1- a) Dessiner dans un plan [xoy], et justifier la trajectoire
des électrons et des trous; on fera aussi figurer la force de
Laplace FL et la force électrique Fe , exercées sur chaque type de
charge après les avoir définies.
b) Les électrons et les trous sont-ils déviés vers la même face ?
Justifier votre réponse.
2 - a) Peut-on en conséquence, avoir une constante de Hall Rh
nulle, par compensation de l'effet produit sur chaque type de
charge ?
La constante de Hall est définie par Eh = - Rh . J ? B
b) Si l'on applique, pour calculer Rh, le même raisonnement que
pour les métaux, le champ électrique peut-il encore, dans le cas
d'un semi-conducteur, créer des forces électriques qui compensent
simultanément les forces de Laplace de chaque type de porteurs de
charges (électrons et trous ) ? - Conclusion sur la méthode de
calcul de Rh ?
3 - Pour déterminer la constante de Hall, on réalisera donc les
étapes suivantes :
a) Donner la relation reliant la densité de courant J selon Ox
(axe du courant principal) avec n, p, ?n, ?p et E Hall ainsi que
la relation avec n, p, vn et vp - attention aux signes -
b) Donner la relation reliant la densité de courant transversal
Jy selon Oy (direction du champ électrique Hall ) en fonction de
n, p et des vitesses transverses vpy et vny.
c) Calculez les vitesses transverses au moyen des formules
suivantes que l'on admettra : Vny = - ?n (F / e ) Vpy =
+ ?p (F / e ) avec F = Fe + FL appliquée à la charge étudiée.
d) Ecrire que la densité de courant transverse calculée en b) est
nulle.
e) En déduire la constante de Hall, définie précédemment.
solution :
( p.? p 2 - n.?n2)
Rh = ------------------------
( n.e. ?n + p.e.?p ) 2
f) En déduire la constante donnée pour un semi-conducteur
intrinsèque du § B.2
4 - On introduit 1018 impuretés de type accepteur par cm3 dans
le semi-conducteur intrinsèque du § B.2, et l'on suppose que
l'ionisation est