Petit coup de main pour réussir - Clg Charles Doche

Petit coup de main pour réussir
les calculs d'images et d'antécédents par des fonctions.
(Corrigé) I- Calculs d'images : Exemple n° 1 : Soit f la fonction linéaire définie par f(x) = 5 x. a. Pour calculer l'image du nombre 2 par f on doit remplacer x par 2 L'image de 2 par f est alors : f(2) = 5 x 2 donc f(2) = 10 Le nombre 2 a pour image 10 par f . On peut aussi écrire : « par f : 2 10 » b. Pour calculer l'image du nombre -7 par f on doit remplacer x par -7 L'image de -7 par f est alors : f(-7) = 5 x (-7) donc f(-7) = -35 L'image de -7 par f est -35 On peut aussi écrire : « par f : -7 -35 » c. Pour calculer l'image du nombre -10 par f on doit remplacer x par -10 L'image de -10 par f est alors : f(-10) = 5 x (-10) donc f(-10) =
-50 Le nombre -10 a pour image -50 par f . On peut aussi écrire : par f : -10 -50
d. Pour calculer l'image du nombre [pic] par f on doit remplacer x par
[pic]
L'image de [pic] par f est alors : f( [pic]) = 5 x [pic] donc
f([pic]) = [pic] L'image de [pic] par f est [pic]. On peut aussi écrire : par
f : [pic] [pic] e. Pour calculer l'image du nombre [pic] par f on doit remplacer x par
[pic]
L'image de [pic] par f est alors : f( [pic]) = 5 x [pic] donc
f([pic]) = [pic] Le nombre [pic] a pour image [pic] par f . On peut aussi écrire : par f : [pic] [pic]
Exemple n° 2 : Soit g la fonction affine définie par g(x) = 2 x + 7. a. Pour calculer l'image du nombre 3 par g on doit remplacer x par 3 L'image de 3 par g est alors : g(3) = 2 x 3 + 7
g(3) = 6 + 7 donc g(3) = 13 Le nombre 3 a pour image 13 par g . On peut aussi écrire : « par g : 3 13 » b. Pour calculer l'image du nombre -6 par g on doit remplacer x par -6 L'image de -6 par g est alors : g(-6) = 2 x (-6) + 7
g(-6 ) = -12 +
7 donc g(-6) = -5 L'image du nombre -6 par g est -5 On peut aussi écrire : « par g : -6 -5 » c. Pour calculer l'image du nombre -10 par g on doit remplacer x par -10 L'image de -10 par g est alors : g(-10) = 2 x (-10) + 7 g(-10) = -20 + 7 donc g(-10) = -13 Le nombre -10 a pour image -13 par g . On peut aussi écrire : par g : -10 -13
d. Pour calculer l'image du nombre [pic] par g on doit remplacer x par
[pic].
L'image de [pic] par g est alors : g([pic]) = 2 x [pic]+ 7 g([pic]) = [pic]+ 7
( 2 x [pic] = [pic] ) g([pic]) = [pic]+
[pic] ( 7 = [pic]) donc g([pic]) = [pic]
(On n'arrondi pas !!) L'image de [pic]par g est [pic]. On peut aussi écrire : par
g : [pic] [pic] Exercice n°1 : f1 est la fonction linéaire définie par f1(x) = -3 x.
Calculer les images de 4, de -8 et de [pic] par
f1. f1(4) = -3 x 4 = -12 L'image de 4 par f1 est -12. f1(-8) = -3 x (-8) = 24 L'image de -8 par f1 est 24. f1([pic]) = -3 x [pic]= -2 L'image de [pic] par f1
est -2.
Exercice n°2 : f2 est la fonction affine définie par f2(x) = 7 x- 9.
Calculer les images de 1, de -2 et de [pic] par
f2.
f2(1) = 7 x 1 - 9 = 7 - 9 = -2 L'image de 1 par f2 est
-2. f2(-2) = 7 x (-2) - 9 = -14 - 9 = -23 L'image de -2 par f2 est
-23. f2([pic]) = 7 x [pic] - 9 = [pic] - 9 = [pic] = [pic] L'image de [pic]
par f2 est [pic].
Exercice n°3 : f3 est la fonction affine définie par f3(x) = -2 x + 5.
Calculer f3(4), f3(-6) et f3[pic] f3(4) = -2 x 4 + 5 = -8 + 5 donc : f3(4) = -3 L'image de 4
par f3 est -3. f3(-6) = -2 x (-6) + 5 = 12 + 5 donc : f3(-6) = 17 L'image de -6 par
f3 est 17. f3([pic]) = -2 x [pic] + 5 = [pic] + 5 = [pic] donc : f3([pic]) = [pic]
L'image
de [pic] par f3 est [pic]. II- Calculs d'antécédents : Exemple n°1 : Soit f la fonction linéaire définie par f(x) = 7 x. a. Déterminer l'antécédent du nombre 28 par f c'est trouver le nombre N qui
a
pour image 28 par f. On cherche donc le nombre N tel que : f(N) = 28 ( L'image de N
par f est 28 ) c'est à dire tel que : 7 N = 28 (
f(x) = 7 x donc f(N) = 7 N ) On a donc N = [pic]
et donc N = 4 On peut dire que le nombre qui a pour image 28 par f est 4
ou que l'antécédent de 28 par f est le nombre 4 On peut également écrire : « par f : 4 28 » ou « f(4) =
28 ». b. Déterminer l'antécédent du nombre -14 par f c'est trouver le nombre N
tel que f(N) = -14 (L'image de N
par f est -14) c'est à dire tel que : 7 N = -14 On a donc N = [pic] et donc N = -2 L'antécédent de -14 par f est le nombre -2 c. Déterminer l'antécédent du nombre 20 par f c'est trouver le nombre N tel
que : f(N) = 20 (L'image de N par
f est 20) c'est à dire tel que : 7 N = 20 On a donc N = [pic] (On n'arrondi
pas !!!!)
Le nombre qui a pour image 20 par f est [pic]. d. Déterminer l'antécédent du nombre [pic] par f c'est trouver le nombre N
tel que :
f(N) = [pic] (L'image de N
par f est [pic])
c'est à dire tel que : 7 N = [pic]
On a donc N = [pic]7 d'où : N = [pic] (Diviser par un nombre c'est
multiplier par son inverse) donc N = [pic] (On n'arrondi pas !!!!) Le nombre qui a pour image [pic] par f est [pic].
(Phrase)
( ou L'antécédent de [pic] par f est [pic].) Exemple n°2 : Soit g la fonction affine définie par g(x) = 3 x - 2. a. Déterminer l'antécédent du nombre 13 par g c'est trouver le nombre N qui
a
pour image 13 par g. On cherche donc le nombre N tel que : g(N) = 13 (L'image de N par g
est 13) c'est à dire tel que : 3 N - 2 = 13 ( g(x) = 3 x - 2 donc g(N) =
3 N - 2 ) On a donc : 3 N = 13 + 2
d'où : 3 N = 15 donc : N = [pic] et donc : N = 5 On peut dire que le nombre qui a pour image 13 par g est 5 ou que l'antécédent de 13 par g est le nombre 5 On peut également écrire : « par g : 5 13 » ou « g(5) = 13 ».
b. Déterminer l'antécédent du nombre -35 par g c'est trouver le nombre N tel que : g(N) = -35 (L'image de N
par g est -35) c'est à dire tel que : 3 N - 2 = -35 On a donc : 3 N = -35 + 2 d'où : 3 N = -33 donc : N = [pic]
et donc : N = -11 Le nombre qui a pour image -35 par g est -11 c. Déterminer l'antécédent du nombre 8 par g c'est trouver le nombre N tel
que : g(N) = 8 (L'image de N
par g est 8) c'est à dire tel que : 3 N - 2 = 8 On a donc : 3 N = 8 + 2 d'où : 3 N = 10 donc : N = [pic] (On n'arrondi
pas !!!) L'antécédent de 8 par g est [pic]. Exemple n°3 :
Soit h la fonction affine définie par h(x) = [pic]x + 5
Déterminer le nombre N qui a pour image 1 par h. On cherche le nombre N tel que : h(N) = 1 (L'image de N par h est
1) c'est à dire tel que : [pic]N + 5 = 1 On a donc : [pic]N = 1 - 5 donc : [pic]N = -4 donc : 2 N = -4 x
3
d'où : 2 N = -12 donc : N = [pic] et donc : N = -6 Le nombre qui a pour image 1 par h est -6 (Phrase) ( ou L'antécédent de 1 par h est -6. )
Exercice n°1 : f1 est la fonction linéaire définie par f1 (x) = -10 x. Calculer le nombre n qui a pour image 27 par f1. On cherche le nombre n tel que : f1 (n) = 27 d'où : -10 n = 27 10 n = -
27 n =
-27 : 10 n =
-2,7 Le nombre qui a pour image 27 par f1 est -2,7. Exercice n°2 : f2 est la fonction affine définie par f2 (x) = 9 x + 4. Déterminer, à l'aide d'une équation, le nombre qui a pour image -11 par f2.
On cherche le nombre n tel que : f2 (n) = -11 ( n = antécédent
de -11) d'où : 9 n + 4 = -11 9 n = -
11 - 4 9 n =
-15 n =
[pic] ( On n'arrondi pas !!) n =
[pic] (On simplifie !)
L'antécédent de -11 par f2