exercices: algebre lineaire

EXERCICES: ALGEBRE LINEAIRE


# 1. MATIERES PREMIERES :


1.1. Considérer toutes les progressions arithmétiques sur R :
a) peut-on "additionner" deux progressions arithmétiques ?
b) peut-on "multiplier" une progression arithmétique par un réel ?
c) choisissez 3 progressions arithmétiques et montrez qu'il est
possible d'exprimer l'une d'elle comme combinaison linéaire des 2
autres.
d) donner une représentation géométrique de l'ensemble des
progressions arithmétiques

1.2. Considérer les tables de différences (cf. chapitre 1)
correspondant aux "colonnes de gauche" suivantes :
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0
1
0 0 0
0
* * *
*
* * *
*
(C0) (C1)
(C2) (C3)


et donner les polynômes qui leur sont associés, P0(x), P1(x),
P2(x), P3(x)


Exprimer à l'aide des Pi(x) le polynôme associé à la table de
différences dont la première ligne est 1, 2, 9, 28, 65, 126, ...
1.3. Considérer l'ensemble des matrices [pic]
avec a, b R


Que peut-on dire de l'addition de 2 de ces matrices ? de leur
multiplication par un réel ?
On donne: [pic]
Sont-elles linéairement indépendantes ?


# 2. UNE DEFINITION POUR RASSURER CEUX QUI EN ONT BESOIN :

(d'après L. MIRSKY, An Introduction to Linear Algebra, O.U.P. 1955 )


Un ensemble V a une structure de vectoriel réel et sera noté ?,V,+, *, s'il
est muni de deux opérations notées + et *, vérifiant les conditions
suivantes, quels que soient les éléments X, Y, Z dans V et r, s dans ? :
( V,+ est un groupe commutatif :
- X + Y = Y + X (+ est interne, partout définie, commutative)
- X + (Y + Z) = (X + Y) + Z (+ est associative)
- l'équation d'inconnue Z : Y + Z = X admet une solution et une
seule

( compatibilité de la multiplication scalaire avec les autres opérations :
1 . X = X
r . (s . X) = (r . s) . X (compatibilité de . scalaire et de .
réelle)
r . (X + Y) = r . X + r . Y (. scalaire distribue l'addition
vectorielle)
(r + s) . X = r . X + s . X (. scalaire distribue l'addition réelle)



3. R, R2, R3, ... Rn, MODELES DE VECTORIELS REELS :

( Notation abrégée: Rn pour R, Rn, +, * )

# a) Combien de vecteurs linéairement indépendants peut-on considérer
dans R, R2, +, * ? Et dans R, R3, +, * ? Dans R, R, +, * ?
Généraliser.


# b) Combien de vecteurs suffisent à engendrer R, R2 +, * ? Généraliser.


c) Dans R, R3, +, * on donne les 4 vecteurs suivants :
[pic] : (1, 1, 1) [pic] : (2, 0, 0)
[pic] : (0, 0, 2) [pic] : (-1, -1, -1)


- Calculer le vecteur [pic] + [pic] + [pic] + [pic]
- [pic], [pic], [pic], et [pic] sont-il linéairement indépendants ?
- Donner un ensemble de vecteurs formant une base de R3, exprimée dans la
base "canonique " (001), (010), (100) et différente de celle-ci.


# d) Quelle est la dimension des vectoriels cités en exemples en (1) ?
Donnez une base "simple" pour chacun et montrez que chacun d'eux
est isomorphe à un vectoriel
de type R, Rn, +, *.


e) Relation entre base et coordonnées

[pic]

Choisissez une autre base et donnez les nouvelles coordonnées de ces 4
points.

@ 4. DIMENSION : L'INFINI !


a) Considérer l'ensemble des suites réelles ( U1, U2, U3, ..., Un, ...)


Ui (
Pouvez-vous donner une base de ce vectoriel ?


b) Considérer l'ensemble des polynômes à coefficients réels ( pn (x) )
avec n ?. Montrer qu'on peut également lui associer une base de
cardinal dénombrable.


c) Par contre, pour l'ensemble des fonctions définies sur l'intervalle
0, 1 il serait vain de rechercher une base finie ou dénombrable
(pourquoi ?).
Notre "ancien" concept de dimension ne suffit pas pour traiter cet
exemple, qui sort du cadre où il était "bien défini" ...

5. APPLICATION LINEAIRE DANS ?, ?n, +, *

a) Exprimer par équation des applications linéaires de types suivants:
1°) projection de ?3 sur ?2 dans une direction de droites donnée
2°) projection de ?3 sur ? dans une direction de plans donnée
3°) projection de ?3 sur 0

b) Dans ?2, on donne les images des vecteurs de base e1 et e2 par une
application linéaire L; donner ses équations.


[pic]
Représenter géométriquement cette situation.


[pic]


@ c) Exprimer dans les nouvelles bases Bi suivantes, l'équation de la
courbe exprimée par [pic] dans la base B0 de départ ([pic]1, [pic]2) :
B1 : (2[pic]1, [pic]2)
B2 : (3[pic]1, 3[pic]2)
B3 : ([pic]1 + [pic]2, [pic]1 - [pic]2)


d) X désigne la matrice 3 x 3 d'une application linéaire, et on connaît
les résultats suivants :
[pic]


Déterminer X
Calculer X2
Déterminer toutes les valeurs de n N telles que Xn = I


e) Quelques équivalences


désigne une application (transformation) linéaire dans le vectoriel ?,
?n, + et M une matrice (n*n) qui la représente (dans une base donnée)

L est une bijection
l'image de ?n par L est ?n, sans perte de dimension
M est différent de 0
M est inversible
le rang de M est maximum
(et vaut n, la dimension du vectoriel ?, ?n, +)





Les "autres" applications linéaires dans le vectoriel (, (n, +, * sont des
projections, font descendre en dimension et sont décrites par des matrices
(n*n) dont le déterminant est nul, non inversibles et de rang
r = n-d, où d est le nombre de dimensions perdues. Donnez des exemples!

# 6. CALCUL DU DETERMINANT :

a) Le déterminant [pic] d'une matrice carrée M est un nombre, fonction des
éléments de M, obtenu en sommant les "produits signés" comprenant un
facteur dans chaque ligne et dans chaque colonne de M :
[pic] = (-1)p * ap(1) * bp(2) * ... np(n)

où p est la parité de la permutation des indices (1, 2, 3, ... n)
(p(1), p(2), ...p(n)).

On en déduit un mode de calcul par récurrence et différentes propriétés.


b) Calcul du déterminant
det [pic] = [pic]
= (aij Aij) avec i fixé et j = 1 à n (développement sur une ligne)

= (aij Aij) avec i fixé et i = 1 à n (développement sur une
colonne)

où Aij, cofacteur de l'élément aij est le "sous-déterminant signé"
obtenu en supprimant la ligne et la colonne de aij, et multiplié par
(-1)i+j.


c) Propriétés d'un déterminant


Si l'on permute deux rangées parallèles d'une matrice, le déterminant
est multiplié par (-1).
Si l'on multiplie par m tous les éléments d'une rangée, le déterminant
est multiplié par m.
Si l'on décompose en somme de 2 termes (t1 +t2) chaque élément (t)
d'une rangée, on obtient deux déterminants dont la somme vaut le
déterminant initial.

ON NE MODIFIE PAS LA VALEUR D'UN DETERMINANT EN AJOUTANT A UNE RANGEE
UNE
COMBINAISON LINEAIRE DES AUTRES RANGEES.

d) Effectuer ou vérifier les calculs suivants :

[pic]
[pic]


e) Calculer les déterminants de Vandermonde :
[pic]
Généraliser la formule pour Vn



f) Montrer, dans ?, ?n, +, * que n vecteurs sont linéairement
indépendants ssi leur déterminant est non nul.

@ 7. RESOLUTION DE SYSTEMES LINEAIRES :

Vous devez être capables de résoudre des systèmes linéaires par une méthode
de votre choix : déterminants, élimination, substitution.

a) Système de Cramer, méthode des déterminants

Un système de n équations à n inconnues dont le déterminant D est non
nul peut être résolu comme suit :
[pic]
[pic]


Vérifier le cas suivant :
[pic]


Si D est nul, alors il n'y a pas une solution unique :
( si tous les Di sont nuls, il y a une infinité de solutions
( sinon, le système est impossible


b) Cas général, méthode des éliminations successives (réduction du
système): GAUSS

Un système d'équations est équivalent à un autre si l'on peut passer de
l'un à l'autre par une succession de "transformations élémentaires".
(i) permuter deux équations
(ii) multiplier une équation par un nombre non nul
(iii) ajouter une équation à une autre
La méthode consiste à transformer le système donné (aij) (x) = (b) en
un système équivalent "réduit" ayant les mêmes solutions (cf. cours).


Vérifier que la méthode des éliminations successives conduit aux
résultats suivants:
[pic]






[pic]
[pic]
Imaginez un système de 3 équations linéaires à 3 inconnues conduisant à
2 solutions. Imaginez un système comprenant plus d'équations que
d'inconnues; que peut-il se passer ?
Envisagez les différents cas possibles.

8 . VALEURS ET VECTEURS PROPRES, INDICATEURS D'EVOLUTION :

a) On donne A = [pic]


1°) Calculer (A ( ; la matrice A est-elle inversible ?
Une application linéaire est-elle nécessairement représentée par
une matrice inversible ?


2°) Déterminer k pour que le déterminant | A - k.I | soit nul : k sera
une "valeur propre".


3°) Considérer dans ?3 l'application linéaire de matrice A : [pic]' =
A[pic]
et calculer les images des vecteurs suivants : [pic] : (1,-
1,0)
[pic]: (2,-1,-2)
[pic] : (1,-1,-2)


4°) Connaissez-vous des vecteurs propres pour A ? ( c'est-à-dire tels
que A[pic] = k[pic] )


b) Une espèce de microbes se comporte de la manière suivante :


1°) en moyenne, la moi