Modèle mathématique. - Lycée Henri BECQUEREL

PS1- PS2- Corrigé DS n° 5
Exercice 1 : ( 2,5 points) 1) Pour tout a ]0 ; + [ et h 0 tel que a + h ]0 ; + [,
= - ;h )) = - )( + );h( + ))) = - ;h( + ))) = + )))
Soit = + ) )) = + ) )) (1,5 points)
= donc ( + ) = 2 et + )) = )) Donc, ]0 , + [, f est dérivable en a pour tout a ]0 , + [ et f '(a)
= )). ) 2) Pour a = 0, 2 = 0 et n'est pas un nombre réel, on verra plus tard que
cette limite est égale à + , donc la fonction f n'est pas dérivable en 0
(puisque la limite n'est pas finie) (0,5 point) Graphiquement, au point d'abscisse 0, la courbe représentative de f admet
une tangente verticale, droite qui n'admet pas de coefficient directeur.
Exercice 2 : (4 points)
1) Pour tout réel a 2, a + h 2 et h 0, = - ;h )) = ;h )) =
= =
(a + h - 2) = a - 2 donc (a + h - 2)(a - 2) = (a - 2)2
Donc, 2, a + h 2 et h 0, = ) (1,5 points)
2) = = = = - 3 donc f est dérivable en 1 et Une équation de la tangente T1 à (Cf) au point d'abscisse 1 est de la
forme : y = f '(1)(x - 1) + f(1)
Où f '(1) = - 3 et f (1) = 1 - 1;1 - 2 )) = = - 1
Soit y = f '(1)(x - 1) + f(1) y = f '(1)(x - 1) + f(1) y = - 3 (x -
1) - 1 y = - 3x + 3 - 1
(0,75 point) 3) Deux droites sécantes à l'axe des ordonnées sont parallèles si et
seulement si elles ont le même coefficient directeur. On cherche à montrer
que (Cf) admet une tangente parallèle à T1 en un autre point, c'est-à-dire,
on cherche si il existe un réel x tel que f '(x) = - 3 = - 3 - 3 = - 3(x
- 2)2 et x 2
Soit (x - 2)2 = 1 et x 2 x - 2 = - 1 ou x - 2 = 1 x = - 1 + 2 = 1 ou x
= 1 + 2 = 3 (0,75 point)
4) Etudier la position relative des courbes (Cf) et T1 revient à étudier le
signe de f(x) - (- 3x + 2)
Or, f(x) - (- 3x + 2) = - (- 3x + 2) = =
Soit f(x) - (- 3x + 2) = = = |x | - 1 |
| |2 + |
|3(x - | + 0 + |
|1)2 |+ |
|x - 2 | - - |
| |0 + |
| | - 0 - |
| |+ |
Donc
, 1[ et sur ]1, 2[,(Cf) est en dessous de T1. Sur ]2, + [ , [,(Cf) est au
dessus de T1) (1 point)
Exercice 3 : (3 points) 1) + ;4))) = + 2 + ;16 )) = 2 + 2;16 )) = ;16)) = ;4 )) (0,5 point) 2) On sait que cos2 a = et pour x = , 2x = 2 =
Donc cos2 = ;2)) = ;2));2)) = ;4)). Or, [0 ; ] donc cos > 0 et cos =
;4))) Or, + ;4)))= ;4 )) et ;4)))= ;4)). Les nombres + ;4)) et ;4))) sont
positifs et ont le même carré donc ils sont égaux. On a donc = + ;4)))
(1 point) 3) + = = . Or, cos(a + (/2) = - sina
Il faut déterminer sin . [0 ; ] donc sin > 0 et cos2 + sin2 = 1 donc
sin2 = 1 - ;4))
Donc sin2 = ;4)). Cette expression ressemble au premier développement.
- ;4))) = - 2 + ;16 )) = 2 + 2;16 )) = ;16)) = ;4 )) donc = -
;4))) (0,5 point)
Donc cos = cos + ) = - sin = - - ;4)) = - ;4)) donc = - ;4)))
(0,5 point) De même, ( - = = . On : sin( ( - a) = sina
Donc, sin = sin ) = sin = - ;4)) donc = - ;4))) (0,5 point) Exercice 4 : ( 3 points) 1) D'après le théorème de l'angle inscrit vu au collège, ();OI),);OA)) = 2
();KI),);KA)) donc );OI),);OA)) = 2x ) (0,5) 2) La perpendiculaire à [OA] passant par I coupe la droite (OA) en H donc
le triangle OIH est rectangle en H et dans ce triangle sin ();OI),);OA)) =
. Or, OI = 1 (cercle trigonométrique) donc . (0,5 point) 3) Le triangle AKI est rectangle en A puisque A appartient au cercle dont
[KI] est un diamètre.
Et AAKI = AK;2 )). Dans le triangle AKI est rectangle en A, sin
();KI),);KA)) = soit sin x = AI = 2 sin x
Et cos ();KI),);KA)) = soit cos x = KA = 2 cos x
(1 point)
On a donc AAKI = 2 cos x;2 )) = 2sin x cos x. 4) AAOI = IH;2)) = (puisque OA = 1) et AAKO = AAOI car (AO) est la
médiane relative à [KI] et partage donc le triangle AKI en deux triangles
de même aire : AKO et AOI. Donc .) (0,75 pt) 5) AAKI = AAOI + AAKO 2sin x cos x = + = = sin 2x
Soit CQFD (0,25 pt)
Exercice 5 : (3 points) On utilise les listes de la calculatrice pour déterminer l'espérance et
l'écart-type des deux premières questions. On vérifie que 1) est vraie et
que 2) est vraie. 3) Faux : contre-exemple :
|Valeur |10 |- 1 |
|Probabilité |0,9 |0,1 |
E(X) = 8,9 > 0 mais - 1 < 0 4) Vrai : si V(X) = 0, alors d'après la formule de la variance, toutes les
valeurs sont égales à l'espérance, donc toutes égales à une même valeur m. 5)Faux : V(3X) = 3² V(X) = 9V(X) = 9×5 = 45 6) Vrai : E(2X - 1) = 0, donc 2E(X) - 1 = 0
Ainsi 2E(X) = 1, d'où E(X) = 0,5 Exercice 6 : (1,5 points) 1) T affiche [pic]. Il s'agit de l'espérance de X. (0,5 point)
2) Initialisation
T prend la valeur 0
V prend la valeur 0
Traitement
Pour i allant de jusqu'à n
T prend la valeur T + [pic]
V prend la valeur V +[pic]
[pic]prend la valeur [pic]
FinPour
Sortie
Afficher T
Afficher V
Afficher [pic] (1 point)
Exercice 7 : (3,5 points) 1)a) Pour que le jeu soit défavorable au joueur, il faut que l'espérance du
gain E(G) soit strictement négative. Comme il y a 8 boules rouges dans une
urne contenant 10 boules indiscernables au toucher, la probabilité de
perdre sa mise, donc la probabilité que G = - m est de [pic]. Comme il y a
2 boules rouges dans une urne contenant 10 boules indiscernables au
toucher, la probabilité de gagner la carré de sa mise, donc la probabilité
que G = m² est de [pic].
La loi de G est donnée par le tableau suivant :
|Valeur |- m |m² |
|Probabilité |[pic] |[pic] | On obtient donc E(G) = [pic]× (- m) + [pic]× m²
Ainsi [pic] (1 point)
b) [pic][pic][pic]
Comme m > 0, [pic][pic][pic][pic][pic]
La mise maximale autorisée par le casino est de 4 euros. (1 point) 2) a) G' = - G (0,25 point)
b) E(G') = E(- G) = - E(G) = [pic] (0,25 point)
c) [pic]. E(2) =[pic]
a = - 0,2 < 0. Ainsi l'espérance maximale du casino est de 0,8 euro et
correspond à une mise de 2 euros.
(1 point)