Bac maths S 1998 - Antilles - Descartes et les Mathématiques

Bac S 1998 - ANTILLES - GUYANE

Exercice commun : probabilités - obligatoire : complexes - spécialité ;
similitude - problème : équations différentielles.

Annales bac S non corrigées : http://debart.pagesperso-orange.fr/ts
Document Word :
http://www.debart.fr/doc/bac_1998/bac_s_antille_guyane_1998.doc

BACCALAUREAT GENERAL Session 1998
Épreuve : MATHÉMATIQUES

Série : S Durée : 4 heures Coef. : 7 ou 9


OBLIGATOIRE et SPECIALITE



L'utilisation d'une calculatrice est autorisée

Le candidat doit traiter les DEUX exercices et le problème. La qualité de
la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l'appréciation des copies.
Le formulaire officiel de mathématiques, prévu par l'arrêté du 27 mars
1991, et deux feuilles de papier millimétré sont joints au sujet.

Dès que le sujet vous est remis assurez-vous qu'il est complet.
Ce sujet comporte 4 pages numérotées de 1 à 4.

EXERCICE 1 (4 points) commun à tous les candidats
Un jeu de dominos est fabriqué avec les sept couleurs : violet, indigo,
bleu, vert, jaune, orange, rouge. Un domino se compose de deux cases
portant chacune l'une des sept couleurs. Chaque couleur peut figurer deux
fois sur le même domino : c'est un double.
1. Montrer que le jeu comporte 28 dominos différents. (0,5 point)

2. Les 28 dominos, indiscernables au toucher, sont mis dans un sac.
On tire simultanément trois dominos du sac.
Quelle est la probabilité d'obtenir exactement deux doubles parmi ces trois
dominos?
(0,5 points)
3. Dans cette question, on tire un seul domino. Calculer la probabilité des
événements suivants :
a) J2 : "Le jaune figure deux fois" (0,25 point)
b) J1 : "Le jaune figure une seule fois" (0,25 point)
c) J : "Le jaune figure au moins une fois" (0,5 point)

4. On effectue n tirages successifs d'un domino en notant à chaque tirage
la (ou les) couleur(s) obtenue(s) avant de remettre dans le sac le domino
tiré et de procéder au tirage suivant ; les tirages sont indépendants.
Calculer en fonction de n, la probabilité pn que J soit réalisé au moins
une fois.
(1 point)
Calculer la plus petite valeur de l'entier naturel n pour laquelle pn (
0,99. (1 point)


EXERCICE 2 (5 points) pour les candidats ayant suivi l'enseignement de
spécialité

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct (O ; [pic], [pic]).
On considère l'application f du plan dans lui-même qui, à tout point M
d'affixe z, associe le point M' d'affixe : [pic]

1. Montrer que f est une similitude directe dont on précisera le centre (,
le rapport k et l'angle ?. (0,75 point)

2. Soit M0 le point d'affixe [pic]. Pour tout entier naturel n, le point Mn
+ 1 est défini par Mn + 1 = f(Mn).
a) En utilisant la première question, calculer (Mn en fonction de n.
(0,5 point)
b) Placer le point M0 et construire les points M1, M2, M3, M4. (0,5
point)
c) À partir de quel rang n0 a-t-on : « Pour tout n > n0, Mn appartient au
disque de centre ( et de rayon r = 0,05 » ? (0,5 point)

3. a) Calculer M0M1. (0,25 point)
b) Pour tout entier naturel n, on note dn = MnMn + 1.
Montrer que (dn) est une suite géométrique dont on précisera le premier
terme et la raison. (0,5 point)
c) On note ln = d0 + d1 + d2+ ... + dn. Calculer ln en fonction de n et en
déduire la limite de ln en +(. (1 point)

4. Pour tout entier naturel n non nul, on note Gn l'isobarycentre des
points M0, M1, M2, ..., Mn.

a) Montrer que, pour tout [pic] (0,5 point)
b) En déduire la position limite du point Gn lorsque n tend vers +(.
(0,5 point)


EXERCICE 2 (5 points) candidats n'ayant que l'enseignement obligatoire

Partie A
On considère le polynôme P de la variable complexe z défini par :
P(z) = z4 + 2 [pic]z3 + 8z2 + 2[pic]z + 7

1. a) Calculer P(i) et P(- i). (0,25 + 0,25 point)
b) Montrer qu'il existe un polynôme Q du second degré, que l'on
déterminera, tel que :
pour tout z(C, P(z) = (z2 + 1) Q(z) (0,5 point)

2. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation P(z) = 0. (1
point)

Partie B
Le plan est rapporté au repère orthonormal direct (O ; [pic], [pic]) (unité
graphique 2 cm).
1. Placer dans ce repère les points A, B, C et D d'affixes respectives zA =
i, zB = - i, [pic],[pic]. (0,5 point)
Montrer que ces quatre points appartiennent au cercle de diamètre [CD].
(0,5 point)

2. Montrer qu'il existe une rotation de centre O qui transforme C en D.
Calculer une valeur entière approchée à un degré près d'une mesure de
l'angle de cette rotation.
(0,5 + 0,5 point)

3. Calculer, sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique, le
rapport
[pic]. (0,5 point)
Interpréter géométriquement le module et l'argument de ce rapport. (0,5
point)


PROBLÈME (11 points) commun à tous les candidats

Partie A - Étude de fonctions
On considère les fonctions f1, f2, f3 définies sur R par :
f1(x) = (x + 1)e - x ; f2(x) = - xe - x ; f3(x) = (x - 1)e - x.
On appelle (C1), (C2), (C3) leurs courbes représentatives respectives dans
un repère orthogonal (O ; [pic] ,[pic]) du plan. Les courbes (C2), (C3)
sont données dans l'annexe ci-jointe.

1. Étude de la fonction f1

a) Calculer la dérivée f '1 de f1 et étudier son signe. En déduire les
variations de f1.
(0,5 + 0,5 + 0,5 point)
b) Déterminer les limites de f1 en +(, en -(. (0,5 + 0,25 point)
c) Dresser le tableau de variation de f1. (0,25 point)

2. Étude graphique
a) Identifier sur l'annexe les courbes (C2) et (C3) et placer sur le dessin
le repère
(O ; [pic] ,[pic]). (0,5 point)

b) Étudier la position relative des courbes (C1) et (C3). (0,5 point)

c) Tracer (C1) dans le même repère que (C2) et (C3) (sur l'annexe).
(0,5 point)

Annexe
[pic]

3. Étude d'équations différentielles
(Ce type de question (sauf a)) n'est plus au programme à partir de la
session 1999.)

a) Montrer que f1 est solution de l'équation différentielle
(E1) : y' + y = e - x. (0,5 point)
b) Montrer que f1 est aussi solution de l'équation différentielle
(E2) : y'' + 2y' + y = 0. (0,5 point)

c) Déterminer toutes les solutions de l'équation différentielle (E2). En
déduire que f2 et f3 sont aussi des solutions de (E2). (1,5 point)

d) Parmi les solutions de (E2), quelles sont celles qui sont aussi
solutions de (E1) ?
(0,5 point)

Partie B - Étude d'aires liées à (C1) et (C3)

Pour n entier strictement positif, on appelle Mn le point de (C3)
d'abscisse nln2.
On pose f (x) = f1(x) - f3(x) pour tout x réel.

1. Calculer, en unités d'aire, l'aire Un du domaine plan limité par la
courbe (C3), la courbe (C1) et les segments [Mn Pn] et [Mn + 1 Pn + 1] pour
n > 0. (Pn et Pn + 1 sont les projections orthogonales respectives de Mn et
Mn + 1 sur [pic] (1,5 point)
2. Calculer, en unités d'aire, l'aire Vn du trapèze PnMnMn + 1Pn + 1 pour
n > 0. Montrer que le rapport [pic] est constant. (1 + 0,5 point)