Bac S 2007 - Descartes et les Mathématiques

Bac S 2007 - Pondichéry - Inde Géométrie dans l'espace - Géométrie plane et complexes - Similitudes et
restitution organisée de connaissances - Fonction logarithme - Probabilité. Annales bac S non corrigées : http://debart.pagesperso-orange.fr/ts
Document Word : http://www.debart.fr/doc/bac_2007/bac_s_inde_2007.doc BACCALAUREAT GENERAL Session 2007
Épreuve : MATHEMATIQUES
Série : S Durée : 4 heures Coef. : 7 ou 9
OBLIGATOIRE et SPECIALITE
Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la
réglementation en vigueur Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit
traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut
admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les
questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur la
copie. La qualité et la précision de la rédaction seront prises en
compte dans l'appréciation des copies. Avant de composer, le candidat s'assurera que le sujet comporte bien 4
pages numérotées de 1 à 4. EXERCICE 1 (4 points) Commun à tous les candidats L'espace est rapporté au repère orthonormal (O, [pic], [pic], [pic]).
On considère le plan P d'équation 2x +y - 2z + 4 =0 et les points A de
coordonnées (3; 2; 6),
B de coordonnées (1; 2; 4), et C de coordonnées (4 ; -2 ; 5). 1. a. Vérifier que les points A, B et C définissent un plan.
b. Vérifier que ce plan est le plan P. 2. a. Montrer que le triangle ABC est rectangle.
b. Écrire un système d'équations paramétriques de la droite ? passant par
O et perpendiculaire au plan P.
c. Soit K le projeté orthogonal de O sur P. Calculer la distance OK.
d. Calculer le volume du tétraèdre OABC. 3. On considère, dans cette question, le système de points pondérés S ={(O,
3), (A, 1), (B, 1), (C, 1)}
a. Vérifier que ce système admet un barycentre, qu'on notera G.
b. On note I le centre de gravité du triangle ABC. Montrer que G
appartient à (OI).
c. Déterminer la distance de G au plan P. 4. Soit ? l'ensemble des points M de l'espace vérifiant :
[pic] =5.
Déterminer ?. Quelle est la nature de l'ensemble des points communs à P et
? ?
EXERCICE 2 (5 points) Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de
spécialité 1. Dans cette question, il est demandé au candidat d'exposer des
connaissances
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct (O, [pic],
[pic]). Soit R la rotation du plan de centre ?, d'affixe ? et d'angle de
mesure ?. L'image par R d'un point du plan est donc définie de la manière
suivante :
- R (?) = ?
- pour tout point M du plan, distinct de ?, l'image M' de M est définie
par :
?M0 =?M et [pic]=? [2?].
On rappelle que, pour des points A et B d'affixes respectives a et b, AB
=|b-a|
et ([pic],[pic]) = arg(b - a) [2?].
Question : Montrer que les affixes z et z0' d'un point quelconque M du plan
et de son image M' par la rotation R, sont liées par la relation
z'-? =ei?(z - ?).
2. On considère les points I et B d'affixes respectives zI =1+i et zB =2
+2i.
Soit R la rotation de centre B et d'angle de mesure . [pic]
a. Donner l'écriture complexe de R.
b. Soit A l'image de I par R. Calculer l'affixe zA de A.
c. Montrer que O, A et B sont sur un même cercle de centre I. En déduire
que OAB est un triangle rectangle en A. Donner une mesure de l'angle
([pic],[pic])
d. En déduire une mesure de l'angle ([pic],[pic]).
3. Soit T la translation de vecteur [pic]. On pose A' = T(A).
Calculer l'affixe zA' de A'.
Quelle est la nature du quadrilatère OIAA'0 ?
c. Montrer que -[pic] est un argument de zA' . EXERCICE 2 (5 points) Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité 1. Dans cette question, il est demandé au candidat d'exposer des
connaissances
On suppose connus les résultats suivants :
La composée de deux similitudes planes est une similitude plane ;
la transformation réciproque d'une similitude plane est une similitude
plane ;
une similitude plane qui laisse invariants trois points non alignés du plan
est l'identité du plan.
Soient A, B et C trois points non alignés du plan et s et s' deux
similitudes du plan telles que :
s(A) = s'(A), s(B) = s'(B) et s(C) = s'(C). Montrer que s = s'. 2. Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal (O, [pic], [pic]).
La figure sera complétée au fur et à mesure. On donne les points A d'affixe
2, E d'affixe 1+i, F d'affixe 2+i et G d'affixe 3+i.
a. Calculer les longueurs des côtés des triangles OAG et OEF. En déduire
que ces triangles sont semblables.
b. Montrer que OEF est l'image de OAG par une similitude indirecte S, en
déterminant l'écriture complexe de S.
c. Soit h l'homothétie de centre O et de rapport [pic]. On pose A' = h(A)
et G' = h(G), et on appelle I le milieu de [EA']. On note ? la symétrie
orthogonale d'axe (OI). Montrer que S = ? ( h. EXERCICE 3 (5 points) Commun à tous les candidats On considère la fonction f définie sur [0 ; +([ par f (x) = [pic]
1. Montrer que f est dérivable sur [0 ; +([. Étudier le signe de sa
fonction dérivée f ', sa limite éventuelle en +(, et dresser le tableau de
ses variations. 2. On définit la suite (un)n(0 par son terme général un = [pic]
a. Justifier que, si n ( x ( n+1, alors f(n+1) ( f(x) ( f(n).
b. Montrer, sans chercher à calculer un, que, pour tout entier naturel n,
f (n+ 1) ( un ( f (n).
c. En déduire que la suite (un) est convergente et déterminer sa limite.
3. Soit F la fonction définie sur [0 ; +([ par F(x) = [ln(x+3)]2.
a. Justifier la dérivabilité sur [0 ; +([ de la fonction F et déterminer,
pour tout réel positif x, le nombre F'(x).
b. On pose, pour tout entier naturel n, In = [pic].
Calculer In.
4. On pose, pour tout entier naturel n, Sn = u0 + u1 +··· + un-1 . Calculer
Sn. La suite (Sn) est-elle convergente ? EXERCICE 4 (6 points) Commun à tous les candidats Pour réaliser une enquête, un employé interroge des personnes prises au
hasard dans une galerie commerçante. Il se demande si trois personnes au
moins accepteront de répondre.
1. Dans cette question, on suppose que la probabilité qu'une personne
choisie au hasard accepte de répondre est 0,1. L'employé interroge 50
personnes de manière indépendante.
On considère les évènements :
A: « au moins une personne accepte de répondre »
B: « moins de trois personnes acceptent de répondre »
C: « trois personnes ou plus acceptent de répondre ». Calculer les probabilités des évènements A, B et C. On arrondira au
millième. 2. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3. Dans cette question, on
suppose que la variable aléatoire X qui, à tout groupe de n personnes
interrogées indépendamment, associe le nombre de personnes ayant accepté de
répondre, suit la loi de probabilité définie par :
[pic]
a. Montrer que la probabilité qu'au moins trois personnes répondent est
donnée par :
f(a) = 1- e-a[pic]
b. Calculer f(5). En donner l'arrondi au millième. Cette modélisation donne-
t-elle un résultat voisin de celui obtenu à la question 1? 3. On conserve le modèle de la question 2. On souhaite déterminer le nombre
minimum de personnes à interroger pour que la probabilité que trois d'entre
elles au moins répondent soit supérieure ou égale à 0,95. a. Étudier les variations de la fonction f définie sur R+ + par f(x) = 1- e-
x[pic]
ainsi que sa limite en +(. Dresser son tableau de variations.
b. Montrer que l'équation f(x) = 0, 95 admet une solution unique sur R+, et
que cette solution est comprise entre 6,29 et 6,3.
c. En déduire le nombre minimum de personnes à interroger.