EXERCICES : MOUVEMENT DE ROTATION

ÉNERGÉTIQUE : MOUVEMENT DE ROTATION

I- Une de 18 kg et de 40 cm de diamètre tourne à la fréquence de rotation
de 1 500 tr/min.
1. Calculer la vitesse linéaire d'un point de sa circonférence.
2. Déterminer son moment d'inertie et son énergie cinétique.
3. Déterminer le moment du couple de freinage M pour qu'elle s'arrête en
200 tours.

II- Un volant est constitué d'un cylindre de fonte de 1 tonne répartie sur
une circonférence de rayon R =1 m. La fréquence de rotation du volant
est de 300 tours par minute.
1. Déterminer l'énergie cinétique du volant
2. On utilise ce volant pour effectuer un travail. Il ralentit et ne tourne
plus qu'à 120 tr/min.
Calculer la valeur du travail effectué.
3. Sachant qu'il met 2 secondes pour passer à cette fréquence, calculer la
décélération du volant ainsi que le nombre de tours effectués.
4. Calculer le moment du couple s'opposant à la rotation.

III- Le rotor d'un appareil ménager tourne à la fréquence de 50 tr/s. On
l'assimile à un cylindre plein homogène de masse m = 0,2 kg et de rayon R =
3 cm.
1. Calculer le moment d'inertie du rotor.
2. Calculer son énergie cinétique
3. Sachant qu'il a mis 50 tours pour atteindre ce régime, calculez le
moment du couple moteur.


IV- Une poutre homogène, de 3 m de longueur et de masse 10 kg, tient
verticalement en équilibre instable. On la pousse avec une vitesse
négligeable et elle bascule autour de son extrémité inférieure.


On admettra que le moment d'inertie par rapport à l'axe est : J = .

Calculer son énergie cinétique et la vitesse de son centre de masse
lorsqu'elle arrive au sol.

V- Volant d'inertie
Un volant d'inertie en acier (7800kg/m3) est constitué :
[pic] d'une couronne circulaire à base carrée (coté 10 cm) et de rayon
extérieur Re = 50 cm ;
[pic] d'un moyeu central de rayon Rm = 5 cm, de hauteur h =10 cm.
[pic] de trois bras à 120° de section carrée (coté 5 cm).
Le moment d'inertie du volant par rapport à son axe de rotation [pic] a
pour valeur 46,5 kg.m 2. Sa masse est de 247 kg.
1. Déterminer la masse et le rayon d'un volant d'inertie plein de même
moment et d'épaisseur 10 cm.
2. Comparer la masse et le rayon de giration des deux volants.
Définition du rayon de giration : Dans une direction déterminée, le
rayon de giration d'un corps est la distance de l'axe d'inertie à un
point fictif de masse égale à la masse totale et donnant même moment
d'inertie que ce corps.
Correction
II- Volant cylindrique en fonte m = 1 tonne = 10 3 kg R =1 m. N =
300 tr/min = 5 tr/s
1. Moment d'inertie : J = m R 2 J = 10 3 1 2 J = 500 kg.m 2
Vitesse angulaire : ( = 2 ( n ( = 2 ( 5 ( =
10 ( rad/s
Énergie cinétique : EC = J ( 2 EC = 500 (10 ()
2 EC 246,74 kJ
2. Le volant effectue un travail et ralentit jusqu'à 120 tr.min- 1. Nf
= 2 tr.s - 1
Théorème de l'énergie cinétique : la somme des travaux est
égale à la variation d'énergie cinétique.
Calcul de la variation d'énergie cinétique :
Énergie cinétique finale : ECf = J (f 2
A.N.: ECf = 500 (2 ( 2) 2 ECf
39,478 kJ
Variation d'énergie cinétique : ?EC = ECf - EC
A.N.: ?EC 39,478 - 246,74 ?EC
- 207,262 kJ
Le travail de la force résistante (d'où le moins) est égal à
cette variation : W (?) - 207,262 kJ
3. Décélération en 2 secondes
Décélération du volant : (' = (' = =
A.N.: (' = (' -
9,425 rad/s
Nombre de tours effectués : ( = (' t 2 (formule donnée)
A.N.: ( = 9,425 2 2 (
18,850 rad
4. Moment du couple résistant : W(M(?)) = M ( d'où M =
A.N.: M M 10 995 Nm


III- Rotor d'un appareil ménager : cylindre plein homogène N = 50 tr.s- 1
m = 0,2 kg ; R = 3 cm
1. Moment d'inertie J = m R 2 J = 0,2 (3.10 - 3) 2
J = 9.10 - 7 kg.m 2
2. Énergie cinétique EC = J ( 2 EC = 9.10 - 7 (2 ( 50 ) 2
EC 44,4 mJ
3. 50 tours pour atteindre ce régime.
La variation d'énergie cinétique depuis le démarrage est donc
égale à 44,4 mJ.
Cette valeur correspond au travail du moment du couple moteur.
L'angle balayé pendant cette phase est : ( = 50 2( rad
W(M) = M ( d'où M = A.N.: M 2 ()) M 141.10
- 3 Nm

IV- Une poutre de 3 m de longueur et de masse 10 kg, homogène, tient
verticalement en équilibre instable. On la pousse avec une vitesse
négligeable et elle bascule autour de son extrémité inférieure.


On admettra que le moment d'inertie par rapport à l'axe est : J = .

Calculer son énergie cinétique et la vitesse de son centre de masse
lorsqu'elle arrive au sol.

La poutre est homogène : son centre d'inertie est à mi-longueur. z1
= 1,5 m
État initial (poutre verticale)
EP1 = m g z1 EP1 = 10 9,8 1,5 EP1 147 J
EC1 = J (12 EC1 = 0
État final (poutre horizontale)
EP2 = 0
EC2 = J (22 avec J = J = 3 2;3)) J = 30 kg.m 2
Seul le poids travail. Il y a conservation de l'énergie mécanique :
Em1 = Em2 d'où EP1 = EC2
ce qui donne : (2 = [pic] A.N.: (2 = [pic] (2 3,13 rad/s
Vitesse du centre de masse : v2 = (2 A.N.: v2 = 3,13
v2 4,7 m/s