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MATHEMATIQUES
TRONC COMMUN NIVEAU 3
MODULE TC 36 |Nom : | |Date de | |
| | |distribution : | |
|Prénom| |Date de | |
| : | |validation : | |
Objectifs à atteindre :
361 Calculer la fréquence et les effectifs cumulés
362 Construire le polygone des effectifs
363 Calculer la moyenne
Modules pré requis : TC 27 Fréquence, moyenne, polygone des effectifs 361 Calculer la fréquence et les effectifs cumulés
3611 Fréquence
Le nombre d'enfants dans 28 familles se répartit suivant le tableau suivant
:
|Nombre d'enfants |Effectif |Fréquence |Fréquence |
| | | |en % |
|0 |4 |0.143 | |
|1 |8 |..........| |
|2 |10 |..........| |
|3 |6 |..........| |
| |Total |1 |100 % | Le caractère étudié est le nombre d'enfants. Quatre familles n'ont pas
d'enfants. On dit que la fréquence correspondante est f1 = effectif de la valeur 0 / effectif total f1 = 4 / 28 = 0.143
Cette valeur peut aussi s'exprimer en "pour cent" f1= 0.143 = 14;3 / 100 = 14.3 % 1 °Compléter le tableau pour les autres valeurs du caractère étudié (nombre
d'enfants)
La fréquence d'une valeur d'un caractère (ou d'une classe) est f = (effectif de la valeur ou de la classe )/ effectif total Si nous appelons N l'effectif de la classe, nous avons la relation f = Effectif de la valeur ou de la classe / N
La fréquence peut s'exprimer par une fraction, un décimal ou un
pourcentage.
La somme des fréquences de toutes les valeurs d'un caractère est égale à 1 3612 Effectifs cumulés croissants et décroissants
La répartition des primes versées aux salariés d'une entreprise est donnée
par le tableau suivant |Montant de la prime|Nombre d'employés |Effectif cumulé |Effectif cumulé |
|en E | |croissant (ECC) |décroissant (ECD) |
|[0,150[ |n1 = 9 |9 |85 |
|[150; 300[ |n2= 28 | | |
|[300;450[ |n3 = 25 | | |
|[450;600[ |n4 = 16 | | |
|[600; 750[ |n5 =7 |85 |9 |
| | N= 85 | | |
Pour calculer le nombre d'employés recevant une prime au plus égale à 450
E, nous faisons l'addition n1 + n2 + n3 Le nombre obtenu est l'effectif cumulé croissant de la classe [300;450[ Ce nombre est de 9 + 28 + 25 = 62 De la même façon, calculer le nombre d'employés recevant une prime dont le
montant est inférieur ou égal à 600 E Les intervalles de classes étant donnés dans l'ordre croissant :
L'effectif cumulé croissant d'une classe est la somme des effectifs
de cette classe et de toutes celles qui la précèdent.
L'effectif cumulé décroissant est la somme des effectifs de cette
classe et de toutes celles qui la suivent Compléter le tableau précédent 3613 Fréquences cumulées croissantes et décroissantes |Montant de la |Nombre |Fréquence) |Fréquence |Fréquence |
|prime en E |d'employés | |cumulée |cumulée |
| | | |croissante |décroissante|
| | | |(FCC) | |
| | | | |(FCD) |
|[0,150[ |n1 = 9 |f1= 0.106 |0.106 |1 |
|[150; 300[ |n2= 28 |f2 = 0.329 |0.435 |0.894 |
|[300;450[ |n3 = 25 |f3 =0.294 | | |
|[450;600[ |n4 = 16 |f4 = 0.188 | | |
|[600; 750[ |n5 =7 |F5 = 0.082 |1 | |
| | N= 85 |1 | | | 1)On note f1, f2 , f3, f4 et f5 les fréquences des classes. Vérifier les
valeurs indiquées dans la 3ème colonne Les intervalles de classes étant donnés dans l'ordre croissant : La fréquence cumulée croissante d'une classe est la somme des
fréquences de cette classe et de toutes celles qui la précèdent. La fréquence cumulée décroissante est la somme des fréquences de
cette classe et de toutes celles qui la suivent
2) On calcule les fréquences cumulées comme les effectifs cumulés en
remplaçant les effectifs par la fréquence, compléter les deux dernières
colonnes du tableau
362 Construction des polygones des effectifs Rappel On construit des histogrammes quand les valeurs de la variable sont
regroupées en classe. Dans un histogramme les aires des différents
rectangles sont proportionnelles aux effectifs (et aux fréquences)
correspondants (tes) Pour tracer le polygone des effectifs , à partir de l'histogramme de la
série il faut joindre les points milieux (valeur centrales de la classe) du
sommet des rectangles . Exemple : Voici un tableau représentant les classes d'age du personnel d'une
entreprise |Classes d'âge |Effectif |
|[25, 30[ |14 |
| | |
|[30, 35[ |32 |
| | |
|[35,40[ |88 |
| | |
|[40, 45[ |106 |
| | |
|[45, 50[ |134 |
| | |
|[50,55[ |52 | Tracer l'histogramme des effectifs et le polygone des effectifs
[pic] 363 Moyenne d'une série statistique La moyenne d'une série statistique permet de résumer l'ensemble des valeurs
de la série par un seul nombre La moyenne d'une série statistique est donnée par la formule :
Moyenne = (somme des valeurs / N) N est l'effectif total
Exemple :
Le prix d'un article dans différents magasins est de (en E) : 12;
15, 13, 14 , 14 , 16, 14.
Quel est le prix moyen ?
L'effectif est de 7 (7 prix ont été notés) N=7
Prix moyen = (12 + 15 + 13 + 14 + 14 + 16 + 14 ) / 7 = 14
Le prix moyen est de 14 E Pour calculer une moyenne, plusieurs cas peuvent se présenter: Dans le cas le plus courant, la moyenne est (voir exemple précédent) Moyenne = (somme des valeurs / N) N est l'effectif total Si une valeur est prise plusieurs fois (ici la valeur 14 est prise 3 fois) |Valeur |x1 =12|x2 =13|x3=14 |x4=15 |x5=17 |
|n :nombre de fois où elle est |n1=1 |n2=1 |n3=3 |n4=1 |n5=1 |
|prise | | | | | | Moyenne = (n1.x1 + n2.x2 + n3.x3 + n4.x4 + n5.x5) / N Moyenne = (1.12 + 1. 13 + 3.14 + 1.15 + 1 .16) / 7 = 14
Lorsque les valeurs d'un caractère sont regroupées en classe, on prend pour
valeur du caractère les valeurs centrales des classes et on applique la
formule précédente. Exemple :
| | | |
|Montant de la |Valeur centrale|Nombre |
|prime en E |de la classe |d'employés |
|[0,150[ |75 |n1 = 9 |
|[150; 300[ |225 |n2= 28 |
|[300;450[ |375 |n3 = 25 |
|[450;600[ |525 |n4 = 16 |
|[600; 750[ |675 |n5 =7 |
| | | N= 85 |
Calcul de la prime moyenne
Prime moyenne = (75.9+225.28+375.25+525.16+675.7)/ 85 Le montant de la prime moyenne est de : 236,47 E EXERCICES Exercice 1
A partir du diagramme à bâtons, compléter le tableau suivant: |Valeur du caractère|Effectif |Fréquence |
|10 | | |
|20 | | |
|30 | | |
|40 | | |
|50 | | |
|Total | | |
[pic]
Exercice 2
A partir de l'histogramme, compléter le tableau suivant [pic] Exercice 3 Le tableau indique l'ancienneté des employés d'une entreprise de bâtiment
au 1er Juillet 2003 :
[pic] Calculer les fréquences cumulées croissantes et décroissantes et compléter
les 3ème et 4ème colonnes du tableau. Exercice 4 Les résultats d'une épreuve d'examen sont donnés par le tableau (note sur
20); Compléter ce tableau : [pic] Calculer les effectifs et les fréquences cumulées croissantes, compléter le
tableau Tracer l'histogramme et le polygone des effectifs de cette série
Exercice 5 On mesure la durée en secondes de la réalisation d'une tâche sur une
machine, on obtient: 74;76; 76; 76; 77; 78; 78; 79 ; 80; 80 ;80; 81; 83; 83; 84; 90 Calculer la durée moyenne de ce travail. Représenter cette série par un histogramme, puis représenter le polygone
des effectifs
Exercice 6 La répartition des âges des 71 membres d'un club du troisième âge est
donnée par le tableau.
[pic] Déterminer la valeur centrale de chaque classe. Construire l'histogramme de cette série ainsi que le polygone des effectifs Correction des exercices
Page 1
|Nombre d'enfants |Effectif |Fréquence |Fréquence |
| | | |en % |
|0 |4 |0.143 |14.3 % |