Correction. - Math93

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| |Equations/Inéquations - 1 |CORRECTION |
Exercice 1 Equations du type ax + b = c.
Résoudre dans l'ensemble des réels :
1) 2x - 5 = 4x + 7 x = -6
2) - 5 = 4x + 7 x = - 36/11
3) = - x = - 1/7
4) x ln2 + ln4 = xln16 x = 2/3
5) x e + e = 0 x = - 1/e
Exercice 2 Equations avec des puissances et applications financières.
Résoudre dans l'ensemble des réels :
1) x = 500 x= 500
2) x² = 16 x = 4 ou x = - 4
3) (1 + x) = 1 + 0,2 x = 1,02 - 1
4) Pour t réel positif : (1 + t) = (1 + 0.1) t = 1,1 - 1
5) Quel est le taux périodique trimestriel équivalent au taux annuel de
12 %
C ( (1 + T trim ) = C ( (1 + Ta) donc T trim = 1,12 - 1 ( 2,874 %
6) Calculer les taux proportionnels annuels et actuariels correspondant à
un taux de 1% mensuel, 3% trimestriel, 6% semestriel et 12 % annuel.
|Taux périodique |Taux proportionnel |Taux actuariel |
| |annuel | |
|1% mensuel |1 12 = 12% |Ta = (1 + 0,01)12 - 1 ?|
| | |12,68 % |
|3% trimestriel |3 4 = 12% |Ta = (1 + 0,03)4 - 1 ? |
| | |12,55 % |
|6% semestriel |6 2 = 12% |Ta = (1 + 0,06)2 - 1 ? |
| | |12,36 % |
|12% annuel |1 12 = 12% |Ta = (1 + 0,12)1 - 1 = |
| | |12,00 % |
7) Soit 100 000 acquis au terme d'un placement de 5 ans au taux annuel de
10%, cherchons sa valeur actuelle.
C 0 = 100 000 ( 1,1 ( 62 092,13
8) M. Dupont verse chaque 1er janvier et pendant 5 ans la somme de 10 000
(premier versement le 01.01.N+1) sur un compte ouvert le 01.01.N
rémunéré au taux de 5%. Quelle est la valeur actualisée au taux de 5%
de versements réalisés par M. Dupont ?
V = 10 000 (1,05 + 1,05 +1,05 +1,05 +1,05) = 10 000 ( ;0,05)) (
43 294,77
Equations/Inéquations avec ln et exp.
Exercice 3. Résoudre dans les équations suivantes
1) Ln (x + 1) = 5 x = e - 1
2) exp(x+1) = 5 x = ln5 - 1
3) 1 000 ( 1,2 = 2000 x = ln2 / ln 1,2
4) Résoudre dans l'inéquation suivante :
a. 1 000 ( 1,05 > 2000 n > ln2/ln1,05 soit n ?15
b. Interpréter le résultat en terme de placement financier.
Au bout de combien d'années, un capital de 1000 placé à 5% a-t-il
au moins doublé.
5) Résoudre dans l'inéquation suivante : 1 000 ( 0,9 < 500 x >
ln(0,5)/ln(0,9)
6) Résoudre dans l'inéquation suivante : 1 000 ( 0,9 < 500 x ?
7
7) Soit 100 000 acquis au terme d'un placement de n ans au taux annuel de
5%, et de valeur actuelle 61 391,33. Calculer n.
On a 100 000 = 61 391,33 ( 1,05 , on trouve n = 10