Marc Rogalski

Plan I. Pourquoi renforcer les liens math-physique (ou biologie...) au lycée
scientifique ? Ce sera la conclusion ! A. Les maths ne se suffisent pas à elles-mêmes pour tous
B. Des notions physiques exigent des concepts mathématiques profonds
C. L'origine et/ou le sens physique de notions mathématiques peuvent aider
les élèves à les conceptualiser II. Mais...la physique n'est ni facile ni simple Ce sera la partie atelier * Manuels et enseignants de math
* Manuels et bac de physique
* Des étudiants de première année d'université
* Tests de didactique de la physique III. Modélisations et liens math-physique IV. Annexe sur l'intégrale Bibliographie
II. Mais...la physique n'est ni facile ni simple 1/ Dans un manuel de physique Exercice 1. "Chute d'une pierre... on admet que la résistance est
proportionnelle à la vitesse..."
Solution :
m v' = - k v + mg, v = \f(mg;k) + (v0 - \f(mg;k)) e-(k/m)t,
x = x0 + \f(mg;k) t - \f(m;k) (v0 - \f(mg;k)) e-(k/m)t.
Exercice 2. (2 pages plus loin ) "Mouvement d'un bateau lorsque le moteur
s'arrête ... on admet que la résistance est proportionnelle au carré de la
vitesse..."
Solution :
m v' = - k v2, v(t) = \f(m;k) \f(1;t + m/(kv0)) , d(t) = \f(m;k) ln(
\f(k v0;m) t + 1) :
v(t) ? 0 et d(t) ? +? quand t ? +?. Qu'en pensez-vous ?
[Aucun commentaire, aucune explication physique, rien sur des hypothèses de
modélisation et leurs domaines de validité (comportement de v2 pour v
petite, pour v grande...), sur leur confrontation à la réalité... un bateau
continue-t-il indéfiniment ? Les variantes m v' = - k v?, avec 1 < ? < 2 ou 0 < ? < 1 sont
intéressantes à discuter pour préciser les hypothèses de modélisation en
fonction du comportement expérimentalement constaté.
Par exemple, si 0 < ? < 1 on trouve que le mouvement s'arrête en un temps
fini, ce qui n'est pas le cas si 1 ? ? ? 2... L'utilisation du rasoir
d'Occam (courbe la plus simple pour le mouvement) donne une résistance en
kv3/2... Bref, il est clair que le manuel dont sont extraits ces exercices fait
faire, à leur occasion, des mathématiques et non de la physique.]
2/ Dans un manuel de mathématique Exercice. Un indien veut traverser en canoë une rivière dont les deux
berges sont parallèles. Le canoë est soumis à deux forces : la force du
courant représentée par le vecteur \o(u;?) et la force exercée par le
rameur représentée par le vecteur \o(v;?).
[pic]
On considère que le canoë part du point D et se déplace dans la direction
du vecteur \o(w;?) défini par l'égalité \o(w;?) = \o(u;?) + \o(v;?). Dans
la suite de l'exercice on suppose que la longueur de \o(v;?) est le double
de celle de \o(u;?).
1. Reproduire le schéma ci-dessus puis représenter le vecteur \o(w;?) et le
trajet suivi par le canoë.
2. On appelle A le point d'arrivée du canoë et on suppose que la largeur de
la rivière est 35 m. Calculer la mesure de l'angle \o(MDA;^) puis la
longueur DA (arrondir au m). Que pensez-vous de cet énoncé ? [Confusion entre composition des forces (et alors, on aurait un mouvement
uniformément accéléré, puisque la résistance de l'eau n'est pas dans le
modèle !) et composition des vitesses...]
3/ Dans un stage de formation continue d'enseignants de mathématiques Exercice proposé aux enseignants : "La plupart des produits pharmaceutiques... s'élimine du sang à une
vitesse proportionnelle à la quantité de produit y rémanente dans le sang
(c'est-à-dire à la quantité de produit présente dans le sang à l'instant
t). Le coefficient de proportionnalité est une constante k positive,
caractéristique du produit administré.
Le produit est donné en une seule dose y0 en milligrammes. On note y =
f(t) la quantité de produit rémanente dans le sang en fonction du temps t,
exprimé en secondes.
(a) Déterminer la fonction f ;
(b) le produit a une demi-vie de 2 heures. Déterminer la constante
k." Un certain nombre d'enseignants de mathématiques refusent cet énoncé, et
disent qu'ils ne le proposeraient pas à leurs élèves. A votre avis, pourquoi ? [Ils disent ne pas pouvoir, en mathématiques, traduire "s'élimine à une
vitesse proportionnelle à la quantité restante" par f' = -kf ! On peut
penser que c'est parce que ce n'est pas dans leur habitude d'introduire, en
même temps que la notion de dérivée, celles de vitesse, débit, taux de
variation de grandeurs physiques... comme motivation et/ou illustration...]
4/ Un énoncé du bac de physique Un parachutiste saute d'un avion à une altitude de... On suppose pour
simplifier que la chute est verticale... (a) Etablir l'équation du mouvement du parachutiste
* avant qu'il ouvre son parachute (on négligera la résistance de
l'air) ;
* après l'ouverture du parachute (on supposera que la résistance de
l'air est proportionnelle à la vitesse) ;
......
(d) Rappeler l'énoncé du principe d'inertie. ...... Quels commentaires vous suggère cet énoncé ? [Demander dans un même énoncé de rappeler le principe d'inertie et faire en
même temps en début d'énoncé une hypothèse qui la nie, c'est de quoi
engendrer les pires confusions chez les élèves ! Si au moins on partait
d'un hélicoptère en point fixe... ou si on étudiait la composante verticale
du mouvement...
Signalons que la première question était "Expliquer pourquoi l'individu
doit ouvrir son parachute" ! Les auteurs du problème ne manquaient pas
d'humour...
5/ Des tests de didacticiens de la physique |(a) Une personne sur un tapis roulant |[pic]Les deux poulies sont |
|lance une balle de tennis en l'air. |identiques, de longs fils y sont|
|La balle retombe-t-elle dans ses mains, |enroulés. Sur le fil de l'une on|
|ou derrière lui ? |tire avec une force constante de|
| |4 kgf, au fil de l'autre un |
|(b) |poids de 4 kg est attaché. Au |
|[pic] |bout de quelques secondes, les |
| |poulies tournent-elles à la même|
|(c) Une pierre lancée en l'air décrit |vitesse, ou l'une va-t-elle plus|
|une trajectoire parabolique. |vite, et laquelle alors ? |
| | |
|Dessiner la force qui s'exerce sur la |[pic] |
|pierre aux points A, B et C de sa | |
|trajectoire. | |
A votre avis, quelles sont les réponses les plus fréquentes ? 6/ Un test sur des étudiants en fin de première année d'université Quelle est l'attraction gravitationnelle d'un barreau fin homogène sur une
masse ponctuelle, placés selon le schéma ci-dessous ?
[pic]
On rappelle la loi de la gravitation : entre deux masses ponctuelles m et
m' à une distance r la force d'attraction est
G \f(m m';r2)
où G est la constante universelle de la gravitation. A votre avis, quel pourcentage des étudiants savent résoudre un tel
problème ? [En fin de première année d'université, pour 115 étudiants ayant subi le
cours classique sur l'intégrale de Riemann, seuls 12 % reconnaissent plus
ou moins clairement que la solution exige une intégrale. En fait, rien,
dans la présentation traditionnelle de l'intégrale de Riemann en math ne
fait le lien avec la mesure des grandeurs géométriques ou physiques]
III. Modélisations et liens math-physique Premières difficultés dans la modélisation 1/ Dans un problème de physique, on demande souvent de trouver un nombre.
Mais en fait, on ne peut le trouver qu'en cherchant une fonction, qui
décrit le phénomène, et en prenant la valeur de celle-ci pour une certaine
valeur de la variable. En math, c'est donc une première entrée dans
l'analyse fonctionnelle, où les inconnues sont des fonctions : c'est pour
les élèves et les étudiants un saut épistémologique important, et on le
cache soigneusement ! 2/ Il faut souvent travailler avec de nombreuses fonctions et variables,
dépendant les unes des autres, et plusieurs paramètres. Là aussi c'est en
math une franche rupture avec les programmes et instructions ("pas de
généralités", "pas de paramètres", ...). 3/ Un exemple de ces deux points \x(1) L'évaporation de la goutte de liquide "Une goutte sphérique de masse m0 d'un liquide de masse volumique d
s'évapore. Le taux d'évaporation massique est proportionnel à sa surface,
avec un coefficient de proportionnalité k (en kg/s/m2). En combien de temps
s'évapore-t-elle complètement ?" Il faut introduire la masse m(t), la surface S(t), le volume v(t), le
rayon r(t), et il y a plein de relations entre ces fonctions, et il faut
choisir la fonction principale à déterminer, par exemple r(t), et résoudre
r(t) = 0. L'expérience montre que les étudiants ont beaucoup de mal à se
dépatouiller avec tout cela !
\x(2) La loi de désintégration radioactive A l'issue d'une expérimentation sur le radon contenu dans le sol, le
texte suivant est proposé (extrait du document d'accompagnement des
programmes) : " L'expérience suggère que, si l'on considère une population macroscopique
de noyaux radioactifs (c'est-à-dire dont le nombre est de l'ordre du nombre
d'Avogadro, soit 6x1023), le nombre moyen de noyaux qui se désintègrent
pendant un intervalle de temps ?t à partir d'un instant t, rapporté au
nombre total de noyaux N(t) présents à l'instant t et au temps
d'observation ?t, est une constante ? caractéristique du noyau en question.
On peut donc écrire
(*) \f(?N(t);N(t)) = -??t.
A priori, la consta