Exercice II: L'oscillateur harmonique (5,5 points)

BAC S LIBAN 2010 EXERCICE II : L'OSCILLATEUR HARMONIQUE (6,5 POINTS)
http://labolycee.org Un oscillateur harmonique à une dimension est un modèle d'oscillateur qui
intervient dans de nombreux domaines de la physique : mécanique et
électricité notamment.
Son évolution temporelle est régie par l'équation différentielle suivante : [pic] Y est une grandeur physique qui varie au cours du temps, comme par exemple,
la position x d'un mobile ou la charge électrique q d'un condensateur. A est une constante positive reliée à la période propre T0 de l'oscillateur
par :
[pic].
T0 est indépendante de l'amplitude de la grandeur Y.
1.Le pendule simple. Un pendule simple a une longueur l égale à 100 cm. La période mesurée T est donnée dans le tableau du document 1 de l'annexe à rendre avec la copie. Donnée : Intensité de la pesanteur : g = 9,81 N.kg-1. 1.1. La période propre T0 du pendule simple a pour expression : T0 =
2([pic].
Calculer sa valeur. 1.2. Pourquoi peut-on, d'après le tableau du document 1 ci-dessus,
parler d'isochronisme des petites oscillations ? Justifier
la réponse. 2. Le pendule élastique.
Un solide S est relié à un ressort dont l'autre extrémité est fixe. Le
solide de masse
m égale à 205 g et de centre d'inertie G peut glisser sur un rail à coussin
d'air
horizontal. Le ressort, à spires non jointives, a une masse négligeable et
une
constante de raideur k égale à 10,0 N.m-1. Au repos, G est en O.
Le document 2 de l'annexe à rendre avec la copie schématise le dispositif
expérimental. À un instant t, la position du solide est repérée par l'abscisse x(t) sur
l'axe (O, [pic]) : x(t) représente donc également l'allongement du ressort.
Un dispositif d'acquisition a permis d'obtenir l'enregistrement du document
3 de l'annexe à rendre avec la copie.
2.1. Équation différentielle.
2.1.1. Comment qualifier, d'après le document 3, les oscillations
obtenues ?
2.1.2. Faire le bilan des forces s'exerçant sur S. Les
représenter sans souci d'échelle sur le document 2 en
annexe à rendre avec la copie.
2.1.3. Montrer que, dans ces conditions, l'équation
différentielle du mouvement s'écrit : [pic] 2.2. Le pendule est assimilable à un oscillateur harmonique puisque
l'équation ci- dessus est analogue à l'équation générale donnée en
début d'exercice.
2.2.1. Déterminer l'expression de la période propre T0 en fonction de
k et de m.
2.2.2. Calculer la valeur de T0.
2.2.3. Déterminer la valeur expérimentale T0,exp en explicitant le
raisonnement.
Comparer avec la valeur calculée en 2.2.2. 2.3. Énergies
2.3.1. Comment appelle-t-on les énergies ayant respectivement pour
expressions [pic] et [pic] ?
2.3.2. Pour un lâcher sans vitesse initiale, l'équation
différentielle a pour solution x(t) = Xm cos[pic].
Montrer que l'énergie mécanique a pour expression Em =
[pic].
On rappelle que cos² ( + sin² ( = 1. 2.3.3. Quelle est la valeur minimale de l'énergie mécanique ?
2.4. On réalise différents lâchers sans vitesse initiale en faisant
varier l'amplitude.
2.4.1. Calculer l'énergie mécanique lorsque Xm = 1,00 cm.
2.4.2. Combien de valeurs de l'énergie mécanique sont possibles entre
Xm= 0 et Xm = 1,00 cm : aucune ou un infinité ? Justifier.
3. Le pendule élastique en mécanique quantique. On considère une molécule diatomique AB vibrant autour de son centre de
masse G
(mA et mB sont les masses respectives des atomes A et B). On assimile cette molécule à un système de masse µ (appelée masse réduite
et telle que [pic]) oscillant par rapport au point G fixe. Le mouvement est rectiligne sinusoïdal de période propre T0 = [pic] où k
est la constante de raideur du ressort équivalent. Données : Constante de Planck : h = 6,63 ( 10 -34 J.s ;
Célérité de la lumière dans le vide : c = 3,00 ( 108 m.s-1. 3.1. La mécanique quantique montre que l'énergie de vibration Evib de
la molécule est quantifiée. Qu'entend-on par énergie
quantifiée ? 3.2. La molécule est assimilée à un oscillateur harmonique de période
propre
T0 = 1,95 ( 10 -14 s. Un niveau n d'énergie de vibration est
caractérisé par
Evib(n) = [pic] où h est la constante de Planck, [pic] la
fréquence de
l'oscillateur et n un entier positif : n = 0, 1, 2, 3, ... .
3.2.1. Vérifier que la fréquence [pic] de l'oscillateur vaut environ
5,13 (1013 Hz puis calculer les énergies manquantes dans le
tableau du document 4 de l'annexe à rendre avec la copie.
3.2.2. Représenter le diagramme en énergie de la molécule sur le
document 4 de l'annexe à rendre avec la copie en indiquant
chaque niveau par un segment horizontal. Que peut-on dire de
l'écart entre deux niveaux successifs ?
3.2.3. La transition du niveau caractérisé par n = 0 au niveau
caractérisé par
n = 1 correspond à l'absorption d'une radiation. Calculer
la longueur d'onde correspondante dans le vide. Cette
radiation est-elle visible ?
Justifier. ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE : L'OSCILLATEUR HARMONIQUE Document 1. Amplitude (°)0,005,0010,0015,0020,0025,0030,0035,00T (s)2,012,012,012,022,032,042,05 Document 2 Document 3
Document 4
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| |Evib(n) (10-20|
| |J) |
| | |
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|20 | |
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|18 | |
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|16 | |
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|14 | |
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|12 | |
| | |
|10 | |
| | |
|8 | |
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|6 | |
| | |
|4 | |
| | |
|2 | |
| | |
|0 | |
| | |
|Evib(n) (10-20| |
|J) | |
| | |
|Niveau n | |
|0 | |
|1 | |
|2 |8,50 |
|3 |11,90 |
|4 |15,30 |
[pic] G x x(t) O x' G B, mB A, mA