Structures algébriques

Structures algébriques

TD 1 2


I) Exercice 2 2

II) Exercice 4 2

III) Exercice 6 5

IV) Exercice 8 6

V) Exercice 10 6

TD2 7


VI) Exercice 12 7

VII) Exercice 14 7

VIII) Exercice 16 8

IX) Exercice 18 8

X) Exercice 20 9

TD4 10


XI) Exercice 40 10

XII) Exercice 42 10

XIII) Exercice 44 10

XIV) Exercice 46 11



TD 1

1 Exercice 2

Soit E un ensemble non vide. Pour tout[pic], on pose
[pic]
Montrer que T est une loi de composition sur [pic] associative et
commutative.
1) Montrons que T est associative, ie [pic]
[pic]
[pic]

Récapitulatif :
[pic]
[pic]
On en déduit dont que [pic]
T est donc bien associative.
2) Montrons que T est commutative.
Evident car [pic].

2 Exercice 4

On considère l'ensemble [pic].
Montrer que E muni de la loi de composition définie par [pic] est un
groupe.
1) [pic]Ø (évident)
2) Il est évident que · est une loi de composition interne.
Montrons qu'elle est associative.
Soient [pic] des éléments de E.
[pic]
[pic]
[pic] est donc un semi-groupe.
3) Montrons que [pic] possède un élément neutre.
Soient [pic] et [pic] deux élément de E.
[pic] est l'élément neutre de [pic] si : [pic]
[pic]
[pic] est donc un élément neutre possible.
Montrons que [pic]
On a déjà vu que : [pic]
[pic].
[pic] possède donc bien un élément neutre qui est : [pic].
[pic] est donc un monoïde.
4) Pour montrer que [pic] est un groupe, il reste donc à montrer que tous
les éléments de E sont inversibles.
Soient [pic] et [pic] deux éléments de E.
[pic] est l'inverse de [pic] si et seulement si [pic]
[pic]
[pic] est donc un inverse possible de [pic].
On a vu que [pic].
Calculons [pic].
[pic]
Tous les éléments de E sont donc inversibles.
[pic] est donc bien un groupe.
Même question avec [pic]
1) [pic]Ø (évident)
2) Il est évident que · est une loi de composition interne.
Montrons qu'elle est associative.
Soient [pic] des éléments de E.
[pic]
[pic]
[pic] est donc un semi-groupe.
3) Montrons que [pic] possède un élément neutre.
Soient [pic] et [pic] deux élément de E.
[pic] est l'élément neutre de [pic] si : [pic]
[pic]
[pic] est donc un élément neutre possible.
Montrons que [pic]
On a déjà vu que : [pic]
[pic].
[pic] possède donc bien un élément neutre qui est : [pic].
[pic] est donc un monoïde.
4) Pour montrer que [pic] est un groupe, il reste donc à montrer que tous
les éléments de E sont inversibles.
Soient [pic] et [pic] deux éléments de E.
[pic] est l'inverse de [pic] si et seulement si [pic]
[pic]
[pic] est donc un inverse possible de [pic].
On a vu que [pic].
Calculons [pic].
[pic]
Tous les éléments de E sont donc inversibles.
[pic] est donc bien un groupe.

3 Exercice 6

Soit G un groupe fini. Montrer que la table de Pythagore associée est un
carré latin, c'est-à-dire que chaque élément de G figure une et une seule
fois dans chaque ligne et dans chaque colonne.
Supposons qu'il existe un élément présent deux fois dans la ligne de x (ce
qui est équivalent à dire qu'un élément est absent).
Il existe alors [pic] et [pic] tels que [pic] et [pic]. En simplifiant par
x à gauche, on obtient [pic], ce qui est impossible.
Chaque élément de G est donc présent une et une seule fois par ligne.
On montre de même que chaque élément de G est présent une et une seule fois
par colonne.
La table de Pythagore associée à G est donc un carré latin.

4 Exercice 8

Montrer qu'un groupe G dont tous les éléments sont involutifs [pic] est
abélien.
Soient [pic].
[pic]
G est donc un groupe commutatif, donc abélien.

5 Exercice 10

Soit [pic] un semi-groupe tel qu'il existe [pic] vérifiant [pic]. Montrer
que [pic] est un monoïde.
Rappels :
[pic] est un semi groupe ( la loi · est associative, ie [pic].
[pic] est un monoïde ( il admet un élément neutre, ie [pic].
Soit [pic] tel que [pic].
[pic], l'inclusion est stricte si on peut trouver [pic] tels que [pic]
(c'est-à-dire [pic]).
Il y a donc égalité si et seulement si [pic](1).
Supposons que l'élément neutre e existe.
Si [pic], alors (1) est évident, d'où [pic].
Soit [pic] tel que [pic].
Soit [pic]. [pic], donc [pic].
[pic], donc [pic].


TD2

6 Exercice 12

Soit H et G deux sous-groupes d'un groupe G. Monter que : [pic]
Soit [pic] et [pic]
[pic] donc [pic]
[pic] et H distingué dans G, donc [pic]
D'où, [pic] [pic] [pic].
[pic] est donc distingué dans H.

7 Exercice 14

Soit G un groupe, et X une partie non vide de G. on pose :
[pic]
[pic] est appelé normalisateur de X, et [pic] est appelé centralisateur de
X. Montrer que [pic] est un sous-groupe de G, et que [pic] est un sous-
groupe distingué de [pic].
1) [pic]Ø car [pic].
Soient [pic].
[pic]
Soit [pic]
[pic]
[pic] est donc un sous-groupe de G.
2) [pic]Ø car [pic].
Soient [pic] et [pic].
[pic]
Soient [pic] et [pic]
[pic]
[pic] est donc un sous-groupe de G.
[pic] car si [pic], alors [pic].
[pic] est donc un sous-groupe de [pic].
Soient [pic], [pic] et [pic]
[pic]
Il reste à montrer que [pic]
[pic]
D'où [pic].
En simplifiant à droite par g et à gauche par [pic], on obtient [pic]
D'où [pic]
[pic] est donc bien un sous-groupe distingué de [pic].

8 Exercice 16

Soit G un groupe cyclique. Montrer que tout sous-groupe H est cyclique.
Indication : si [pic], montrer que [pic] avec [pic].
H est un sous-groupe de [pic] si et seulement si :
[pic]Ø : donc [pic]. Donc, il existe [pic] tel que [pic]
[pic] : donc, si [pic], alors [pic], [pic] et [pic].
D'où si [pic], alors [pic].
Supposons qu'il existe [pic] tels que [pic] et [pic].
Alors [pic] et [pic], et de plus [pic] avec [pic] car H est stable pour la
loi de composition.
[pic] admet un minimum : [pic], donc [pic]
Dans le cas général, [pic], avec [pic]. H est donc monogène
De plus,[pic], donc H est fini.
Tous les sous-groupes de G sont donc cycliques.

9 Exercice 18

Soit H et K deux sous-groupes d'un groupe G. Montrer que [pic] est un sous-
groupe si et seulement si [pic] ou [pic]
- [pic] d'est pas vide car H et K sont des sous-groupes de G.
- Soit [pic], x est inversible car H et K sont des sous-groupes de G.
- Soient [pic].
Si x et y sont tous les deux éléments de H (resp. de K), alors [pic] comme
élément de H (resp. de K).
Si [pic] et [pic], alors [pic]
D'où [pic] est un sous-groupe de G si et seulement si [pic] ou [pic]

10 Exercice 20

Soit G un groupe fini d'ordre [pic], tel qu'il existe deux sous-groupes H
et K d'ordre n vérifiant [pic] (avec e l'élément neutre). Montrer que [pic]
et déterminer la table de Pythagore. Indication : montrer qu'il existe
[pic] tel que
[pic].
[pic] avec [pic], d'où [pic]
Soient [pic]
[pic], donc [pic], [pic] ou [pic].
Si [pic], alors [pic], d'où [pic] ce qui est impossible car on à pris [pic]
De même, si [pic], alors [pic], d'où [pic] ce qui est impossible car on à
pris [pic]
Donc [pic].
On démontre de même que [pic].
Donc [pic].
[pic] car H, K et G sont des groupes.
[pic] car sinon, [pic], donc [pic]Ø, donc g n'existe pas, donc [pic]
D'où [pic]
Si [pic], alors on peut prendre [pic] éléments de K, et on a : [pic].
Impossible !!
Donc [pic].
D'où [pic].
Construction de la table de Pythagore :
[pic] Impossible, donc [pic]
De même, [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
| |e |h |k |g |
|e |e |h |k |g |
|h |h |e |g |k |
|k |k |g |e |h |
|g |g |k |h |e |
TD4

11 Exercice 40

Soit G un groupe cyclique. Montrer que le groupe de ses automorphismes est
abélien.
G est cyclique, donc [pic] tels que[pic].
On sait déjà que [pic] est un groupe, il reste donc à montrer que[pic].
Soient[pic].
On a vu dans l'exercice 41 que ? et [pic] sont entièrement déterminés par
[pic] et[pic], et de plus comme G est cyclique, il existe i et [pic] tels
que [pic] et[pic], d'où[pic], [pic] et[pic].
Soit k un entier,
[pic]
Le groupe des automorphismes de G est donc abélien.

12 Exercice 42

Soit [pic]
1. Montrer que [pic]
2. Montrer que [pic]
3. En déduire la description de tous les automorphismes de [pic].
1) [pic]= ?
2)
|l \ |0 |1 |
|k | | |
|0 |[pic] |[pic] |
|1 |[pic] |[pic] |
|2 |[pic] |[pic] |


On a donc [pic]
3)

13 Exercice 44

Soit G un groupe, H un sous-groupe fini de cardinal n. On suppose qu'il est
le seul sous-groupe de G de cardinal n. Montrer que H est distingué dans G.
Démontrons par l'absurde en supposant que[pic].
[pic], donc il existe [pic] tels que : [pic]
En simplifiant à droite et à gauche, on obtient[pic], d'où une
contradiction.
Donc[pic].
Comme, de plus, H est le seul sous-groupe de G de cardinal n, [pic].
H est donc distingué dans G.

14 Exercice 46

Soit G un groupe, H et K deux sous-groupes tels que HK soit un groupe.
Montrer que [pic].
[pic]
Soient [pic] et [pic]
[pic], on peut donc poser [pic] et [pic]. On remarque que [pic] et [pic].
Donc [pic]
D'où [pic].
HK est un groupe, et [pic].
D'où [pic] (en prenant [pic])
On en déduit que [pic].