Exercice 4 Le chameau et les bananes - Mathématiques ...

OLYMPIADES ACADEMIQUES DE MATHEMATIQUES 2008 Académie de Besançon Durée : 4 heures
Le sujet comprend quatre exercices indépendants qui peuvent être traités
dans l'ordre voulu. Les calculatrices sont autorisées.
Recommandations Il est important que vous argumentiez vos affirmations.
Même si vous n'aboutissez pas à la solution complète d'une question, vous
êtes invité à décrire votre recherche et votre démarche, un résultat même
partiel pouvant avoir son intérêt.
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|Exercice 1 Les bons nombres |
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|On dit qu'un nombre entier supérieur ou égal à 2 est « bon » s'il peut |
|s'écrire comme la somme de nombres entiers naturels non nuls, |
|distincts ou non, dont la somme des inverses est égale à 1. |
|On dit qu'il est « mauvais » s'il n'est pas « bon ». Ainsi, par |
|exemple : |
|[pic] et [pic], donc 2 est « mauvais ». |
|[pic] et [pic] ; [pic] et [pic] ; donc 3 est également « mauvais ». |
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|Déterminer pour chacun des nombres entiers de 4 à 10 s'il est « bon » |
|ou « mauvais ». |
|Montrer que le carré de tout nombre entier supérieur ou égal à 2 est |
|« bon ». |
|Montrer que si n est « bon », alors 2 n + 2 et 2 n + 9 sont « bons ». |
|On admet que tous les nombres entiers de 24 à 55 sont « bons ». |
|Qu'en est-il de tout nombre entier supérieur ou égal à 56 ? |
Exercice 2 Un partage équitable | | | |
|[pic] | | |
|x | |1. Léonard est géomètre. Il veut |
| | |partager un carré de côté 1 en trois |
| |x |parties de même aire selon le schéma |
| | |ci-contre. |
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| | |Quelle valeur doit-il donner à x pour |
| | |arriver à ses fins ? | | | | |
|[pic] | | |
|x | |2. Mais Léonard est aussi esthète. Ne |
| | |trouvant pas élégante sa construction, |
| |x |il décide de supprimer la zone |
| | |triangulaire hachurée. Ainsi les trois |
| | |parties restantes sont triangulaires. |
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| | |Peuvent-elles avoir la même aire ? | | | |
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|D J|3. Et Léonard est mathématicien. Ayant |
|C |réalisé grossièrement (ci-contre) la |
| |construction de la question 2, il mène |
| |du point H la perpendiculaire (HJ) à la |
| |droite (AB). |
| |Il a l'impression que les droites (HJ), |
| |(DI) et (AC) sont concourantes. |
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|I |Qu'en est-il ? |
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|A H| |
|B | |
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|Exercice 3 Le verre à cocktail |
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|Un verre à cocktail spécial est formé d'une base pleine, surmontée d'un|
|pied en forme de tronc de cône puis d'un autre tronc de cône plus |
|évasé. Les dimensions sont indiquées ci-dessous. |
|[pic] |
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|De la glace pilée au fond du verre doit occuper un sixième du volume. |
|La boisson elle-même doit comporter 1/4 de sirop et 3/4 de limonade. Le|
|verre doit être rempli à ras bords. |
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|Mon ami me conseille de remplir de glace pilée le tronc de cône |
|inférieur (jusqu'à la limite CD) puis de remplir de sirop jusqu'à 2 cm |
|du bord supérieur. |
|Son conseil est-il bon ? |
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|On rappelle que le volume d'un cône est donné par la formule [pic] |
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|Exercice 4 Le chameau et les bananes |
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|Je suis face au désert avec un stock de bananes. |
|Le chameau qui va me transporter ne peut porter plus de mille bananes à|
|la fois et en consomme une par kilomètre. |
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|Partant de ma ville, j'espère atteindre un marché situé à 1000 km où je|
|compte vendre mes bananes. Je dispose d'un stock de trois mille |
|bananes. |
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|Montrer qu'il est possible d'apporter au moins deux cents bananes au |
|marché. |
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|Améliorer la solution précédente. Quel est le nombre maximal de bananes|
|que je pourrai vendre au marché ? | Corrigés Vous pourrez consulter les corrigés de ces exercices prochainement en vous
connectant à :
http : // catice.ac-besancon.fr/Mathematiques/Olympiades-1S. Pour une résolution complète du premier problème, on pourra consulter la
publication Quadrature, n°3, avril 1990.