EXERCICE I : LE PIEGE PHOTO (5 points)

2006 Amérique du nord Correction EXERCICE I : le piège Photo
(5 points)
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I - Armement du dispositif
1. Circuit de charge :
Équation différentielle vérifiée par uC(t) lors de la charge : Loi d'additivité des tensions: uc(t) + uR(t) = E (1) Compte tenu du sens positif choisi pour le courant :
la loi d'Ohm donne: uR(t) = R.i(t)
d'autre part i(t) = [pic] et q = C.uC(t)
C étant constante, il vient i(t) = C. [pic],
donc uR(t) = R.C. [pic] En reportant dans (1): uc(t) + R.C.[pic]= E L'équation différentielle est bien de la forme uc(t) + (.[pic]= E .
Par identification, on peut déduire l'expression de la constante ( :
( = R.C 2. On a: i(t) = C. [pic] d'où l'équation aux dimensions: [C] =
[pic]
De même: uR(t) = R.i(t) donne: [R] = [pic]
Donc: [(] = [R].[C] = [pic].[pic] = [T]
La constante ( est bien homogène à un temps. 3. En régime permanent, uc(t) est constante: uc(t) = Uc = Cte donc
[pic]= 0
L'équation différentielle: uc(t) + (.[pic]= E donne alors: UC = E = 8,0
V.
4. Soit uC(t) = A.(1 - [pic]) une solution de l'équation différentielle.
[pic]= [pic][pic], on remplace dans l'équation différentielle :
A.(1 - [pic]) + (.[pic][pic] = E
A - A. [pic] + A. [pic] = E
on vérifie ainsi que A = E. 5. Pour t = 5( on a: uC(5() = E . (1 - e-5) = 0,99E ( E
Donc pour une durée égale à 5( on peut considérer que la charge du
condensateur est totale. 6. La méthode de la tangente à l'origine étant peu précise, on utilisera
la méthode suivante :
Pour t = (, uC(() = E.(1- e-1) = 0,63.E.
La droite uc(() = 0,63 ( 8,0 = 5,0 V coupe la courbe uC(t) en un point
d'abscisse t = (.
On détermine l'échelle du graphique 1 : 1,4 s ( 13,9 cm
( s ( 2,2 cm
donc ( = [pic] = 0,22 s.
La durée minimale (t durant laquelle l'opérateur doit maintenir
l'interrupteur en position 1 afin de réaliser la charge du condensateur est
(t = 5(.
Soit (t = 5 ( 0,22 = 1,1 s. II - Déclenchement du piège
1. t1/2 est la durée au bout de laquelle la tension aux bornes du
condensateur est réduite de moitié. On a: uC(0) = 8,0 V. Donc pour t
= t1/2 , uC(t1/2) = 8,0 / 2 = 4,0 V. Graphiquement on peut estimer t1/2 à 7 ms.
Cette durée est courte, ainsi on est sur de photographier le prédateur.
2. L'énergie initialement emmagasinée par le condensateur doit être la plus
importante possible.
Or l'énergie électrique stockée par un condensateur de capacité C chargé
par la tension E est :
½.C.E²
il faut alors :
- augmenter la valeur de la force électromotrice E du générateur
idéal de tension,
- et/ ou augmenter la valeur de la capacité C du condensateur.
La valeur de la résistance R n'a aucun effet sur l'énergie stockée par le
condensateur. Mais n'oublions pas que le piège doit se déclencher rapidement. Si on
augmente C, on augmente la constante de temps du circuit de décharge, et
t1/2 augmente. Alors on risque de ne pas pouvoir prendre en photo le
prédateur.
Donc le seul paramètre sur lequel on doit agir est la force électromotrice
du générateur (à augmenter). III - Détermination de l'inductance L de la bobine qui constitue
l'électroaimant
1. Le régime correspondant à l'évolution de la tension uC(t) aux bornes
du condensateur est appelé régime pseudo-périodique. 2. En considérant que l'on peut confondre la pseudo-période T du régime
pseudo-périodique avec la période propre T0 du circuit LC' idéal
(résistance totale R'+ r nulle), on a :
T = T0 = [pic]
Le graphe donne: 4T0 = 8,0.10-5 s donc T0 = 2,0.10-5 s T0 = [pic]
T0² = 4.(².L.C'
L = [pic] L = [pic]= 1,0.10-3 H = 1,0 mH.
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E i(t) i(t) uR(t) uC(t) ( t1/2 4T0 +
- R 0 1 uC = 0,63E