iut 1 - grenoble - Exercices corriges

IUT 1 - GRENOBLE Jean-Pierre KERADEC
GE & II 1 - 2ème année 2006/2007 Préambule
Ce cours s'adresse principalement à des étudiants en seconde année de
DUT Génie électrique. Il ne reprend pas les techniques enseignées en
première année (matrices, calcul intégral, équations différentielles), il
les suppose connues ! La première partie, plus spécialement orientée vers
l'analyse spectrale, est proche du contenu de MA31. La seconde s'attache
principalement à étudier les liens qui existent entre les diverses réponses
des systèmes continus et échantillonnés, ce qui constitue l'objectif de
MA32. Ce polycopié n'est, enfin je l'espère, ni un formulaire dans lequel
rien n'est démontré, ni un livre encyclopédique qui démontre tout, y
compris ce qui ne sert jamais. Mon intention est de présenter, dans un
document aussi concis que possible, les bases des techniques mathématiques
exploitées par les matières technologiques en introduisant le vocabulaire
nécessaire et en établissant les résultats par des démonstrations aussi
rigoureuses que possible. Dans un premier temps, un inventaire des différents théorèmes et des
différents termes mathématiques exploités dans les cours technologiques a
été dressé. Dans un second temps, quelques éléments théoriques plus
généraux ont été ajoutés afin de donner à l'ensemble une présentation
synthétique et cohérente. En pensant à ceux qui, en formation initiale ou
en formation permanente, poursuivront des études, j'ai, autant que
possible, choisi la présentation la plus ouverte, celle qui permet d'aller
au-delà du cadre présenté. C'est tellement rassurant d'aborder d'autres
domaines techniques ou scientifiques en retrouvant des mathématiques
familières... Chacun pourra se faire, à la lecture, une idée de la cohérence interne
et de la pertinence des choix. Pour juger de son adéquation au public visé,
il est indispensable de prendre connaissance des exercices proposés. On y
remarquera que de nombreux problèmes sont issus de préoccupations
techniques familières à nos étudiants, ce qui facilite leur motivation. Un
soin particulier a été apporté pour amener la maîtrise d'un vocabulaire
précis et les calculs analytiques compliqués ont été évités afin de
focaliser l'attention sur les raisonnements et les justifications. Merci à tous ceux, étudiants, enseignants ou lecteurs occasionnels,
qui voudront bien me signaler les erreurs, m'indiquer des lacunes ou me
faire part de leurs remarques et suggestions de tous genres. Ayant constaté
que la transformée de Fourire est finalement très proche de celle de
Fourier, je m'attends au pire ! Jean-Pierre Keradec,
Grenoble, Octobre 06. SOMMAIRE
1ère Partie : Analyse spectrale
I - FONCTION ET PEIGNE DE DIRAC 1 - La fonction de
Dirac........................................................................
.... 1
2 - Trois propriétés essentielles de la fonction de
Dirac....................................... 1
3 - Le peigne de
Dirac.........................................................................
.... 3
4 - Produit par une fonction
continue............................................................. 3 II - ESPACES VECTORIELS DE FONCTIONS 1 -
Introduction..................................................................
................... 5
2 - Espace vectoriel de
fonctions.................................................................
5
3 - Produit hermitique - Produit
scalaire......................................................... 6
4 - Inégalité de Schwarz - Inégalité
triangulaire................................................ 6
5 - Longueur d'un vecteur - Angle formé par deux
vecteurs................................. 8
6 - Orthogonalité - Bases orthogonales et
orthonormées...................................... 10
7 - égalité de
Parseval.....................................................................
........ 11
8 - Corrélation - Ressemblance de deux
fonctions............................................. 11
9 - Distance et développement
limité............................................................ 12
10 - Espace de dimension infinie
continue........................................................ 13 III - SERIES DE FOURIER 1 - But de l'analyse
spectrale.....................................................................
15
2 - Série de Fourier à coefficients
complexes................................................... 15
3 - Incidence des symétries des fonctions
complexes.......................................... 16
a - Parité de la fonction
b - Théorème du retard. Absence d'harmoniques pairs
c - Dérivation. Intégration
4 - Conséquences de l'égalité de
Parseval....................................................... 17
5 - Séries de Fourier des fonctions
réelles......................................................... 17
6 - Conséquences des symétries des fonctions
réelles......................................... 19
7 - Egalité de Parseval pour les fonctions
réelles............................................... 19
8 - Décomposition en série de Fourier du peigne de
Dirac................................... 19 IV - TRANSFORMATION DE FOURIER 1 - Décomposition d'un produit de fonctions
périodiques...................................... 21
2 - Une écriture appropriée : la transformation de
Fourier...................................... 21
3 - Définitions et notations relatives à la transformée de
Fourier............................. 22
4 - Définition du produit de
convolution........................................................ 23
5 - Convolution par un peigne de
Dirac.......................................................... 23
6 - Propriétés opératoires de la transformation de
Fourier.................................... 24
7 - Transformée d'une fonction
périodique...................................................... 24
8 - Transformée d'une
gaussienne.................................................................
26
9 - Conservation du produit hermitique - égalité de
Parseval................................ 28
10 - Théorème de Wiener -
Kinchine............................................................. 29
11 - Extension à plusieurs
variables...............................................................
29 V - échantillonnage PéRIODIQUE. 1 -
Introduction..................................................................
................... 33
2 - Les mirages de
l'échantillonnage.............................................................
33
3 - Signal échantillonné bloqué et
échantillonné............................................... 35
4 - Théorème de
l'échantillonnage............................................................
.... 34
5 - Interprétation
fréquentielle...............................................................
..... 37
6 - Reconstitution du
signal......................................................................
.. 38 VI - TRANSFORMATION DE FOURIER DISCRETE 1 -
Introduction..................................................................
................... 43
2 - Approximations
incontournables............................................................
43
3 - Astuces de calcul.
FFT.........................................................................
46
4 - Densité spectrale de
puissance................................................................
47
5 - Lecture de TFD de signaux
simples.......................................................... 47
2ème Partie : Ré