Le pendule élastique - PhysiqueWeb2

LYCEE ZAHROUNI-TUNIS-
SCIENCES PHYSIQUES
4ème Technique 1
Les oscillations mécaniques libres amorties et non amorties
EXERCICE 1 Un solide (S) de masse m est attaché à l'une des
extrémités d'un ressort horizontal parfaitement élastique , de constante
de raideur k et de masse négligeable devant celle du solide (S) . L'autre
extrémité du ressort est fixe. On écarte le solide (S) de sa position
d'équilibre de x0 à un instant qu'on prend comme origine des dates ,
puis on l'abandonne sans vitesse . On néglige les frottements et on
étudie le mouvement du solide (S) relativement à un repère galiléen
( O ,i) d'origine O , la position du centre d'inertie de (S) à
l'équilibre et d'axe ox horizontal (fig.1) . 1°) a) A une date t quelconque , le centre d'inertie G de (S)
a une élongation x et sa vitesse instantanée est v . Etablir
l'expression de l'énergie mécanique E du système { solide (S) , ressort }
en fonction de x , v , k et m .
b) Montrer que cette énergie 'mécanique E est constante . Exprimer sa
valeur en fonction de k et x0 .
c) En déduire que le mouvement de (S) es rectiligne sinusoïdal .
2) A l'aide d'un dispositif approprié , on mesure la
vitesse instantanée v du solide (S) pour différentes
élongations x du centre d'inertie G de (S) .
Les résultats des mesures ont permis de tracer la
courbe v2 = f (x2) ( fig. 2 ) .
a) Justifier théoriquement l'allure de la courbe en
établissant l'expression de v2 .
b) En déduire les valeurs de :
- la pulsation (0 et l'amplitude x0 du mouvement de (S) ,
c) Etablir l'équation horaire du mouvement .
d) Sachant que l'énergie mécanique E du système est
égale à 0,0625 J , calculer les valeurs de la constante de
raideur k du ressort et la masse m du EXERCICE 2
Le pendule élastique horizontal de la figure 1 est constitué par un
solide (S) de masse m=0,2 Kg soudé à l'une des extrémités d'un ressort (R )
à spires non jointives de masse négligeable et de constante de raideur K,
l'autre extrémité est attaché à un support fixe. A l'équilibre, le centre
d'inertie (G) du solide (S) coïncide avec l'origine O d'un repère espace
horizontal (O,). Partie A.
A partir du point O, on écarte le solide (S) vers un point A
d'abscisse xA et à la date t=0 s, on l'abandonne à lui-même sans vitesse
initiale. Au cours de son mouvement, le solide (S) se déplace sans
frottement et son centre d'inertie (G) est repéré par l'élongation OG=x(t).
Un système d'acquisition de données, enregistre les variations de
l'élongation x au cours du temps (Voir figure 2).
1- En utilisant le graphe :
a- Préciser la nature de mouvement de (S).
b- Déterminer l'abscisse initiale xA du solide (S) et la constante de
raideur K du ressort.
c- Dans quel sens, débute le mouvement du solide (S).
2- Ecrire la loi horaire x=f(t) de mouvement du solide. Déduire
l'équation différentielle du mouvement.
3- L'énergie cinétique du solide Ec = varie au cours du temps selon une
fonction sinusoïdale de période T
a- Etablir l'expression de EC en fonction du temps.
b- Donner la valeur de T.
4- L'énergie mécanique du système ={solide + ressort} est E =EC + Ep avec
Ep= .
a- Montrer que cette énergie est constante.
b- Comment apparaît cette énergie aux instants t1=0s, t2= s et t3=
s.
Partie B.
L'oscillateur est maintenant soumis à des forces de frottement visqueux
équivalents à une force unique
[pic]= - h.[pic].avec h est une constante positive.
1- Etablir l'équation différentielle vérifiée par l'élongation x de (G).
2- Montrer que l'énergie totale du système ={solide + ressort} diminue
au cours du temps.
3- A l'aide d'un dispositif approprié, on a enregistré le diagramme
d'espace de mouvement du solide, le résultat est donné par le graphe
de la figure 3.
a- Quel est le nom du régime d'oscillations ?
b- Sachant que la variation de l'énergie totale du système {solide +
ressort} est égal au travail de la force de frottement. Calculer ce
travail entre les instants t1=0s et t2= . EXERCICE 3
A/ Un pendule élastique horizontal est formé d'un ressort (R) à spires non
jointives, de masse négligeable, de raideur K=20N.m-1 dont l'une de ses
extrémités est fixe et à l'autre est accroché un solide ponctuel (S) de
masse m=50g. La position de (S) est repérée par son abscisse OS=x dans le
repère (o,i) porté par l'axe du ressort et dirigé dans le sens de
l'allongement ,O étant la position d'équilibre de (S).Pendant le mouvement
le solide n'est soumis à aucune force de frottement.
A la date t=0, on écarte le solide (S) de sa position d'équilibre de
x0=2,5 cm à partir de O, dans le sens positif puis on le lance avec une
vitesse initiale v0= 0,866m.s-1 dans le sens des élongations décroissantes.
Le solide S effectue alors des d'oscillations d'amplitude constante, avec
une période propre T0 de l'oscillateur.
1) a- Donner l'analogue électrique de l'oscillateur mécanique libre non
amorti considéré.
b- Etablir l'équation différentielle des oscillations du solide (S). En
déduire par analogie l'équation différentielle régissant les oscillations
de la charge q.
2) Déterminer l'amplitude et la phase initiale de l'élongation x(t).Déduire
les expressions de x(t) et v(t).
3) Montrer que l'énergie mécanique totale E du pendule élastique est
constante. Calculer sa valeur.
EXERCICE 4 Un ressort à spire non jointives, de constante de raideur K, de masse
négligeable, est posé sur un plan horizontal. L'une des extrémités du
ressort est fixe, l'autre est attachée à un solide (S) de masse m. Au cours
de son mouvement, le solide (S) est soumis à une force de frottement
de la forme [pic]= - h.[pic]. (h : est une constante positive de
valeur h = 0,1 U.S.I) 1- L'abscisse [pic] du solide
(S) dans le repère (0,[pic]) vérifie l'équation différentielle 0,5.[pic]+
0,05.[pic]+ 5.[pic]= 0 a- Que représente h ? Préciser son unité dans le système international.
b- Déterminer la masse m du solide (S) et la raideur K du ressort.
2°) On écarte le solide (S) de sa position d'équilibre vers une position
d'abscisse x0 puis on le lâche sans vitesse initiale à l'origine des
dates. L'abscisse [pic] varie selon la courbe de la figure 1.
a- Déterminer graphiquement la pseudo période T des oscillations et
l'abscisse initiale x0 du solide.
b- Etablir l'expression de l'énergie mécanique du système S0 :{Solide,
ressort}, le plan horizontal passant par le centre d'inertie G du solide
est pris comme plan de référence de l'énergie potentielle de pesanteur.
c- Montrer que la variation de l'énergie mécanique du système S0 est égale
au travail de [pic]
d- Calculer ce travail entre la date initiale (t=0) et la date où le solide
a effectué deux oscillations et demi.
3°) Sur la figure 1-b on a représenté les graphes des énergies en fonction
du temps, identifier les courbes représentées et compléter la courbe qui
manque. 4°) On a répété l'expérience précédente pour 3 valeurs différentes de h
tel que : h1 = 15 ; h2=2 et h3=5 et on a représenté sur la figure 2
dans un ordre quelconque et à la même échelle, les variations de
[pic](t).
a- Attribuer à chaque courbe la valeur de hi correspondante ? c- Donner le nom de chaque régime observé
[pic] EXERCICE 5 L'extrémité d'un ressort ( R ) , est liée à un solide ponctuel de masse
m , l'autre extrémité étant fixe . Ce solide peut glisser sans frottement
sur un plan horizontal . Le ressort est à spires non jointives , de
masse négligeable et de constante de raideur k . On écarte le solide de sa position
d'équilibre dans le sens positif d'une distance de 4 cm puis on le
lâche sans vitesse initiale . La position d'équilibre est choisie comme
origine du repère ( O ,i). 1°) a)
Exprimer l'énergie mécanique à un instant t quelconque du système S :
{Solide , ressort} .
b) Montrer que le mouvement solide est rectiligne sinusoïdal de
pulsation (0.Donner l'expression de (0
2°) a) Déterminer l'expression de l'énergie cinétique EC du solide en
fonction du temps . Montrer que
cette énergie est une fonction périodique.
b) Déterminer l'expression de l'énergie potentielle Ep du système S en
fonction du temps . Montrer
que cette énergie est une fonction périodique .
3°) On donne la représentation graphique de l'énergie cinétique EC du
solide en fonction du temps :
a) Déterminer la constante de raideur k du ressort et le période T0
de l'oscillateur .
b) Déterminer la masse m du solide et l'équation horaire du mouvement
du solide .
c) Représenter la courbe de l'énergie potentielle Ep = f(t) .
Justifier le traçage de cette courbe. EXERCICE 6 Un solide (S) de masse m est attaché à l'extrémité d'un ressort à spires
non jointives de masse négligeable et de raideur K=20 N.m-1, l'autre
extrémité du ressort est attachée à un point fixe. Le système S0={ (S) +
ressort} est placé sur un plan horizontal (figure 1). Au repos, le centre
d'inertie G du solide est au point O, origine d'un repère (O,i) horizontal.
A partir de O, on écarte le solide (S) d'une distance Xm dans le sens
positif et on le lâche sans vitesse.
1) a- Représenter les forces exercées sur le solide (S) en mouvement à
une date t quelconque.
b- Etablir l'équation différentielle du mouvement et déduire
l'expression de la pulsation propre (0 de l'oscillateur.
c- On donne le graphe représentant les variations de l'accélération du
solide (S) en fonction de l'élongation x (figure 2). Déterminer
graphiquement (0. Montre