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Correction
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Propriétés des fonctions 2


Minimum et maximum d'une fonction

Exercice 1
1/ Une fonction f définie sur [-7 ; 3,5] est représentée ci-contre.
a) Déterminer le minimum et le maximum de f sur [-7 ; 3,5] ainsi
que les valeurs pour lesquels ils sont atteints.
b) Déterminer le minimum et le maximum de f sur [-7 ; -2] ainsi
que les valeurs pour lesquels ils sont atteints.

2/ On donne le tableau de variation d'une fonction f définie sur [-2 ;
5,5].
a) Déterminer le minimum et le maximum de f sur [-2 ; 5,5] ainsi
que les valeurs pour lesquels ils sont atteints.
b) Déterminer le minimum et le maximum de f sur [-1 ; 4,5] ainsi que les
valeurs pour lesquels ils sont atteints.
c) Déterminer le minimum et le maximum de f sur [1 ; 4] ainsi que les
valeurs pour lesquels ils sont atteints.

|x |-2| |0 | |4 | |5,|
| | | | | | | |5 |
|Variati| | |6 | | | |2,|
|ons de | | | | | | |2 |
|f | | | | | | | |
| | | | | | | | |
| |-1| | | |-1| | |

Définition

Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
On dit que f admet un maximum M en a si
On dit que f admet un minimum m en a si

Exercice 2
1/ Soit f la fonction définie sur par f(x) = x² + 4
a) Calculer f(0).
b) Que peut-on dire de x² sur ? de x² + 4 ?
c) Conclure quant à l'existence d'un minimum pour f.

2/ Soit g la fonction définie sur par g(x) = -x² + 4x
a) À l'aide de la calculatrice, conjecturer l'existence d'un
maximum pour g.
b) Calculer et factoriser g(2) - g(x).
c) Déterminer le signe de g(2) - g(x).
d) Conclure.

Exercice 3
Pour chacune des fonctions suivantes :
1/ Tracer sa représentation graphique sur l'écran de la calculatrice.
2/ Conjecturer l'existence d'un maximum ou d'un minimum ainsi que la
valeur a pour lequel il est atteint.
3/ Démontrer cette conjecture en étudiant f(x) - f(a) (ou f(a) - f(x)).

a) f est définie sur par f(x) = x2 - 8x + 3
b) g est définie sur [1 ; +[ par g(x) = 2 -
c) h est définie sur ]3 ; +[ par h(x) = x - 8 +


Exercices sur la notion de fonction :
Exercice 1 : Les fonctions f et
g sont définies sur [-3 ; 6] ;
leurs représentations graphiques
sont données ci-contre.

Résoudre graphiquement :
a) l'équation f(x) = g(x) ;
b) l'inéquation f(x) ( g(x).








Exercice 2 : On donne le tableau de variation d'une fonction f définie sur
l'intervalle [-5 ; 7].
|x |-5 -4 2 |
| |3 7 |
|variation de f | |
| |3 |
| |0 0 |
| |-2 |
| |-1 |


1. Dessiner une courbe susceptible de représenter la fonction f.
2. Combien de solutions a l'équation f(x) = 0 ? Donner ces solutions.
3. Indiquer le signe de f(x).


Exercice 3 : La courbe ci-après représente une fonction f sur l'intervalle

[-4 ; 4].
Décrire le comportement de f en utilisant :
« f est croissante sur ... ».
« f est décroissante sur ... ».
« f admet un maximum pour x = ...
et ce maximum vaut ... ».
« f admet un minimum pour x = ...
et ce minimum vaut ... ».

Exercice 4 : On considère la fonction f définie sur [-5 ;3] dont voici la
représentation graphique :

1. Dresser le tableau de variation de f .
2. Recopier et compléter les phrases suivantes :
Si -5 ( x ( -3, alors ... ( f(x) ( ...
Si -3 ( x ( 0, alors ... ( f(x) ( ...
Si -5 ( x ( 3, alors ... ( f(x) ( ...


Exercice 5 : Tracer une courbe susceptible de représenter la fonction f
sachant que :
( f est définie sur l'intervalle [0 ; 5] ;
( f est croissante sur cet intervalle ;
( f(0) = 1 et f(5) = 4.


Exercice 6 : Tracer une courbe susceptible de représenter la fonction f
sachant que :
( f est définie sur l'intervalle [-3 ; 3] ;
( f est décroissante sur [-3 ; -1] ;
( f est croissante sur [-1 ; 3] ;
( pour tout x([-3 ; 3], -1 ( f(x) ( 4.


Exercice 7 : Tracer une courbe susceptible de représenter la fonction f
sachant que :
( f est définie sur l'intervalle [-3 ; 4] ;
( f admet un minimum en -1 et un maximum en 2 ;
( les images de -3 et de 4 sont respectivement 2 et 1 ;
( 0 a deux antécédents : -2 et 1.







Exercice 8 : On considère le triangle ABC et H le pied de la hauteur issue
de A. Le point M est un point de [BC].
On donne AH = 4, BC = 7, BH = 4 et on pose BM = x.
1. Dans quel intervalle le nombre x peut-il varier ?
2. On note f(x) l'aire du triangle ABM.
a) Faire deux dessins, le premier avec x = 4, le
second avec x = 2. Calculer f(4) et f(2).
b) Exprimer f(x) en fonction de x.
c) Que peut-on dire de l'aire du triangle ABM lorsque x augmente, c'est à
dire lorsqu'on déplace le point M vers le point C ? Quel est le sens de
variation de f ?
3. On note g(x) l'aire du triangle AMC.
a) Calculer g(4).
b) Exprimer g(x) en fonction de x.
c) Quel est le sens de variation de la fonction g ?
4. Résoudre l'équation f(x) = g(x) :
- par le calcul
- par des considérations géométriques.

Exercice 9 : On considère la figure ci-dessous : DE = 6, AD = 3. Le point C
varie sur [DE] et on note : CE = x. On note f(x) l'aire de ABCD, g(x)
l'aire de BCE, h(x) le périmètre de ABCD et k(x) le périmètre de BCE.







1. Dans quel intervalle le nombre x peut-il varier ?
2. Tracer deux figures, l'une pour x = 1, l'autre pour x = 4.
3. Calculer les images de 1 et de 4 pour chacune des quatre fonctions f,
g, h et k.
4. Exprimer, en fonction de x, f(x), g(x), h(x) et k(x).
5. a) En partant d'une figure donnée, on suppose que x augmente, c'est à
dire que le point C se rapproche de D.
L'aire du rectangle ABCD va-t-elle augmenter ou bien va-t-elle diminuer ?
Donner le sens de variation de la fonction f.
b) Donner de même le sens de variation des fonction g, h et k.

Fonctions - Problèmes

Exercice 1
ABI est un triangle et J un point du segment [AB]. On a AB = 5 cm,
AJ = 3 cm et IJ = 4 cm.
M est un point variable du segment [AB]. On pose x = AM.
On appelle S(x) l'aire du triangle IJM.
1/ Sur quel intervalle x peut-il varier ?
2/ Calculer S(0) et S(5).
3/ En observant la figure et sans faire de calcul, donner le tableau de
variation de la fonction S.


Exercice 2

EF = 6 cm. G est un point variable du cercle de diamètre [EF]. H est le
projeté orthogonal de G sur [EF]. On pose x = EH.
On appelle l(x) la longueur GH.
1/ Sur quel intervalle x peut-il varier ?
2/ Donner le tableau de variation de la fonction l.


Exercice 3

ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 8 cm et AC = 16 cm. ABD est
rectangle en A et AD = 5 cm.
M est un point variable du segment [AB]. On construit le rectangle AMPR tel
que P soit sur le segment [BC] et le rectangle AMND. On pose x = AM.
On appelle f(x) l'aire du rectangle AMPR et g(x) l'aire du rectangle AMND.
1/ Sur quel intervalle x peut-il varier ?
2/ a) Déterminer BM en fonction de x.
b) En utilisant le théorème de Thalès, déterminer MP en fonction de
x.
c) En déduire f(x) en fonction de x.
3/ En calculant des valeurs, tracer dans un repère la représentation
graphique de la fonction f.
4/ Déterminer graphiquement l'aire maximale du rectangle ainsi que la
valeur de x correspondante.
5/ Déterminer g(x) en fonction de x.
6/ Représenter g dans le repère précédent.
7/ Pour quelle(s) valeur(s) de x les deux aires sont-elles égales ?


Exercice 4

Un entreprise fabrique chaque jour un produit. On appelle x la masse
journalière produite en kg. x peut varier entre 0 et 45.
Le coût de production de ces x kg de produit exprimé en euros est donné par
la formule : C(x) = x² - 20x + 200.
Le prix de vente de ce produit est de 34 E le kg. On suppose que tous les
objets fabriqués sont vendus.
1/ Quel est le coût de production pour 10 kg de produit ? Quelle la recette
liée à la vente de ces 10 kg ? Quel est le bénéfice réalisé ?
2/ Déterminer la recette R(x) réalisée lorsque l'entreprise fabrique et
vend x kg de produit. Déterminer le bénéfice B(x) correspondant.
3/ Tracer dans un repère la représentation graphique de la fonction B.
4/ Pour quelle valeur de x le bénéfice est-il maximal ? Quel est alors ce
bénéfice ?

Exercice 5
[AB] est un segment tel que AB = 8 cm. O est le milieu de [AB]. I est un
point variable sur [OB]. On construit alors le rectangle IJKL tel que OJ =
OI et K et L soient sur le cercle de diamètre [AB].
On pose x = OI.
On appelle f(x) l'aire du rectangle IJKL.
1/ Déterminer, en fonction de x, la longueur IL. En déduire f(x).
2/ Tracer la représentation graphique de f dans un repère.
3/ Déterminer l'aire maximale de IJKL.


Autres exercices sur internet

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B

A

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