Asservissements - ENS de Lyon

ASSERVISSEMENTS Bibliographie
Théorie
P. Codron et S. Le Ballois . Automatique , systèmes linéaires et continus
Dunod (1998)
F. Manneville et S. Esquieu. Systèmes bouclés linéaires Dunod
Fascicule Didalab. Théorie Asservissements linéaires (Y Tanguy et P.
Turelle) Expérience
R. Duffait et J.P. Lievre. Expériences d'électronique Bréal p 328 Fascicule Didalab. Asservissements par AO (M. Demonchy et R. Le Goff) Notice de PIDNUM. Eurosmart 1 - Généralités Le schéma fonctionnel d'un système asservi peut se représenter globalement
par
[pic]
fig.1
La fonction de transfert en boucle ouverte est T(p) = H(p) R(p)
La fonction de transfert en boucle fermée est alors [pic]
Pour faire apparaître plus complètement les propriétés du système , on le
représente par
[pic] fig.2
H(p) = H1(p) H2(p) est la fonction de transfert du système lui-même et
b(p) représente les perturbations que l'on peut introduire au système. Au
contraire de c(p) qui représente la consigne à atteindre et que l'on
connaît et maîtrise, b(p) est subie et pas toujours bien connue et on
cherche à rendre son influence négligeable sur s(p). Par exemple, pour un
asservissement de vitesse d'un moteur , c(p) sera la consigne de vitesse ,
s(p) la vitesse effectivement atteinte, H1(p) correspond à l'amplificateur
de puissance qui alimente le moteur (actionneur) et H2(p) au moteur lui-
même , b(p) étant par exemple une perturbation de couple (par exemple
freinage du moteur)
K(p) est la fonction de transfert du correcteur que l'on ajoute sur la
chaîne directe afin d'améliorer la réponse du système.
Quelques définitions Prenons le cas d'un système sans correcteur.
La fonction de transfert en boucle ouverte T(p) peut s'écrire sous la forme [pic]
N(p) et D(p) sont des polynômes en p de degré respectivement m et n (m(n
dans un système réel). D'(p) est un polynôme déduit de D(p) tel que le
terme de plus bas degré est une constante (a0 + a1p1 + a2p2 +...).
Ordre d'un SA : degré n du dénominateur (comme pour les filtres 1er , 2ème
ordre...)
Type d'un SA : coefficient ? (donc nombre d'intégrateurs dans la boucle) ;
0 pour un asservissement de vitesse, 1 pour un asservissement de position
Pôles de la FT : racines du dénominateur
Zéros de la FT : racines du numérateur
2 - Stabilité d'un système asservi
Un système est stable au sens mathématique si , pour une entrée bornée, la
grandeur de sortie reste bornée pour tout t > 0
Critères de stabilité
Un système bouclé est stable si et seulement si tous les pôles de sa FT en
boucle fermée ont une partie réelle négative.
Il existe des critères algébriques qui permettent de déterminer le signe de
la partie réelle des pôles à partir de la FT en boucle ouverte (critère de
Routh -Hurwitz).
Nous nous contenterons de critères graphiques. On peut les faire en
représentation de Bode (deux courbes G(?)=20 log(T(?)( , ?(?)), de Nyquist
(représentation polaire de T(?)) ou de Black-Nichols (G(?) = f ( ?(?)) en
coordonnées cartésiennes). La représentation de Black s'avère commode en particulier pour voir les
marges de stabilité et l'effet des correcteurs. Dans cette représentation,
le point {? = -180° ; G = 0 dB} représente le point critique.
Marges de stabilité
Il ne suffit pas que le système soit stable au sens mathématique, il faut
encore qu'il soit suffisamment stable (par exemple que son comportement
transitoire ne comporte pas trop d'oscillations). Pour cela, on se fixe une
marge de stabilité :
- Marge de phase m? = 180°- ? (pour ? correspondant à G = 0 dB)
- Marge de gain ?G par rapport à 0 pour ? = -180°
Ces marges apparaissent simplement en représentation de Black (fig.3). [pic] On voit en particulier qu'une augmentation de gain (qui améliore la
précision) - décalage de la courbe vers le haut - se fait au détriment de
la marge de phase donc une détérioration de la marge de stabilité (et même
une instabilité). Précision d'un système asservi C'est l'écart entre la valeur de la consigne et la valeur de sortie. C'est
donc la valeur à la sortie du soustracteur. On la détermine en régime
permanent (t ( ( donc p( 0).
On peut montrer que l'écart est
[pic]
On s'intéresse principalement à la réponse à un échelon. Alors, si E0 est
la valeur de la consigne appliquée en t = 0, l'erreur est :
- nulle pour tout système de type 1 (ou plus) lorsqu'il y a au moins un
intégrateur.
- égale à E0 / (1+T0) pour un système de type 0. On augmente la
précision en augmentant le gain de la chaîne (ce qui détériore la
stabilité).
C'est une règle générale des systèmes bouclés : il faut faire un compromis
entre la précision et la stabilité. Un résumé du comportement temporel à une entrée échelon ou à une
perturbation échelon est donné dans le tableau ci-dessous selon l'existence
et la place d'un intégrateur dans le système.
[pic]
3 - Effet des correcteurs
Dans la fonction de transfert du système (en boucle ouverte), on peut
distinguer trois domaines de fréquence :
- En basse fréquence (et éventuellement à la fréquence nulle), un gain
important va diminuer l'erreur dite statique (entre la consigne et la
sortie en régime permanent). S'il y a un intégrateur - type 1- (ou
plus) , cette erreur sera nulle.
- Dans la zone de passage à 0 dB (bande passante), il faut imposer une
certaine marge de phase afin d'éviter des oscillations peu amorties et
donc des dépassements importants de consigne. En général, une marge de
phase de 45° limite le dépassement à 20%.
- En haute fréquence, il faut limiter le gain pour limiter l'influence
des bruits de mesure (défauts des capteurs) qui se superposent au
signal de retour injecté sur le soustracteur.
Le rôle des correcteurs sera alors de modifier la fonction de transfert
afin de respecter au mieux ces différentes contraintes.
On se restreint ici aux correcteurs série 3.1 - Correcteur Proportionnel - Dérivé (PD)
K(p) = K(1+Td p)
K est le gain de l'action Proportionnelle
Td est la constante de temps de l'action Dérivée
Sur le plan temporel cela correspond à Vs = K Ve + K Td dVe/dt
L'action dérivée
- n'augmente pas la précision (pas d'effet à basse fréquence)
- augmente la stabilité (par apport de phase, la marge de phase est plus
grande)
- améliore la rapidité de réponse (par augmentation de la bande
passante)
- augmente la sensibilité au bruit.
3.2 - Correcteur Proportionnel - Intégral (PI)
K(p) = K(1 + 1/Tip) (Vs = K Ve +K/Ti (Ve dt ) L'action Intégrale - améliore la précision (augmentation du gain en BF)
- diminue la stabilité (par perte de phase)
- ralentit le système (diminution de la bande passante)
3.3 - Correcteur PID Une combinaison judicieuse de ces effets permet de résoudre partiellement
le dilemme Précision - Stabilité
On voit sur la fig.4 le diagramme de Black d'un système du 2ème ordre : le
gain est faible à basse fréquence (ici 0 dB) donc peu de précision
statique.
L'effet du correcteur PD est d'éloigner le diagramme du point critique :
amélioration de la stabilité.
L'effet du correcteur PI est d'augmenter le gain à basse
fréquence (amélioration de la précision) mais instabilité car le point
critique est du mauvais côté.
L'effet du PID permet de combiner les effets positifs. 3.4 - Correcteur à avance de phase K(p) = K{(1+T1 p)/(1+T2 p)} avec T1 > T2
Il a un effet stabilisant (par apport de phase entre 1/T1 et 1/T2 ) et
améliore la rapidité de réponse tout en augmentant moins la sensibilité au
bruit que le PD. Il est utile par exemple pour un asservissement de
position puisque la précision est déjà apportée par l'intégrateur du
système. De même, un correcteur à retard de phase (même expression mais T1 < T2)
améliorerait la précision mais aurait un effet déstabilisant.
EXPERIENCES 1 - Asservissement de position d'un moteur à courant continu
Voir Duffait -Lievre
La transmittance H (p) (tension ( vitesse) du moteur s'écrit (en négligeant
l'inductance du moteur)
H = Am/(1+p?m)
Avec
?m = JR/(aR + K2) et Am = K/ (aR + K2)
- R , J et K sont la résistance, le moment d'inertie et la constante de
flux (coefficient de proportionnalité entre la f.e.m. induite et la
vitesse angulaire) du moteur.
- a caractérise les frottements fluides (couple de frottements a?).
Le schéma bloc de l'asservissement de position est donné ci-dessous (k est
le coefficient de proportionnalité entre l'angle et la tension donnée par
le potentiomètre) :
[pic]
La fonction de transfert en boucle ouverte s'écrit
T(p) = kAvAm/p(1+?mp)= Bm/p(1+?mp)
Le système est donc de type 1 (1 intégrateur)
La fonction de transfert en boucle fermée T/(1+T) s'écrit alors
[pic]
Cette fonction de transfert est un passe-bas du 2ème ordre de pulsation
propre
[pic]
et de coefficient d'amortissement [pic]
A priori, le système est stable pour toute valeur de Av (m positif) mais
en réalité, l'influence de l'inductance du moteur cesserait d'être
négligeable à très grand gain et conduirait à une instabilité (le système
serait du 3ème ordre en tenant compte de L) Le dispositif comprend un moteur à courant continu de très bonne qualité
(peu de frottements solides) et un capteur de position à potentiomètre sans
butée.
L'électronique de commande est simple et comprend
- un ampli différentiel (d'amplification différentielle unité)
- un ampli (inverseur) d'amplification ajustable Av
- un ampli de puissance permettant de délivrer un courant suffisant pour
alimenter le moteur (plusieurs centaines de mA). Mesures
Caract