Exercice II le cercle des planètes disparues 5 points

DS : La mécanique de Newton à Einstein...
1. L'arme fatale... (3 points ). Définir la quantité de mouvement. Etudier
un mode de propulsion par réaction. Une balle de pistolet, de masse 2,0 g, quitte le canon avec une vitesse
horizontale de 300 m/s. le système {balle + pistolet} est considéré comme
isolé. 1.1. Le pistolet a une masse de 1,0 kg. Calculer la quantité de mouvement
du pistolet. En déduire la vitesse de recul de l'arme.
1.2. Calculer la vitesse de recul pour un fusil de 4 kg tirant la même
munition.
1.3 Pourquoi les tireurs au fusil épaulent-ils leur arme en la maintenant
fortement appuyé sur eux ? Estimer la vitesse de recul pour un tireur
pesant 80 kg utilisant le fusil précédent. 2. La découverte de l'électron (5 points). Etudier un mouvement dans un
champ électrique uniforme. «Au début, très peu de gens croyaient à l'existence de ces corps plus
petits que les atomes. Un physicien distingué m'a même dit, après avoir
écouté ma conférence à la Royal Institution, qu'il pensait que je m'étais
payé leur tête.» (J.J. Thomson)
A partir de 1895, le physicien britannique Joseph John Thomson entame une
série d'expériences afin de mettre en évidence l'électron et en particulier
de mesurer la valeur du quotient entre sa charge et sa masse. Le dispositif
utilise deux armatures métalliques A et B, planes, parallèles à un axe
horizontal (Ox), distantes de d = 4,00 cm, de longueur l = 10,0 cm, placées
dans le vide. Un faisceau d'électrons pénètre en O entre ces armatures.
Chaque électron a une masse m, une charge électrique [pic] et une vitesse
initiale [pic] parallèle à (Ox) [pic]m/s. A la sortie des armature, les
électrons laissent une trace sur une plaque sensible.
Lorsque la tension UAB appliquée entre les plaques est nulle, cette trace
est au point P. Elle est en C lorsque UAB = 400 V, les points P et C étant
distants de 14 mm.
On rappelle que la tension UAB positive crée un champ électrique [pic]
dirigé de A vers B et qu'une particule de charge q placée dans ce champ
subit la force électrique [pic]. 2.1. Le point C est-il plus proche de A ou de B ? Justifier la réponse.
2.2. En négligeant le poids de l'électron, montrer que les coordonnées de
son vecteur accélération sont [pic].
2.3. En déduire les coordonnées du vecteur vitesse de cet électron puis les
équations horaires de sa position x(t) et y(t).
2.4. A partir de ces équations horaires, exprimer la date tC à laquelle
l'électron arrive en x = l, et montrer que l'ordonnée du point C s'écrit
alors [pic].
2.5. En déduire l'expression du rapport [pic]en fonction de yC, l, v0, UAB
et d. Calculer sa valeur.
(La valeur actuellement admise est e/m = (1,75881962 ± 0,00000053) 1011
C.kg-1) 3. Hauteur maximale d'un lancer (4 points). Analyser les transferts
énergétiques au cours de mouvements. Une balle, de masse m = 45 g, est lancée verticalement vers le haut depuis
une hauteur h = 90 cm, avec une vitesse initiale v0 = 12 m/s. 3.1. En considérant que l'énergie potentielle de pesanteur Epp(z = 0) = 0 J
pour l'altitude z = 0 m, calculer l'énergie mécanique initiale de la balle.
3.2. En supposant les frottements négligeables, quelle sera son énergie
mécanique au sommet de sa trajectoire ? En déduire l'altitude maximale zmax
atteinte.
3.3. Calculer le travail effectué par le poids de la balle lors du
déplacement de celle-ci de h à zmax. Donnée : intensité du champ de pesanteur : g = 9,8 m/s² 4. Un voyage relativiste (3 points). Exploiter la relation entre durée
propre et durée mesurée. L'étoile la plus proche de la Terre, après le Soleil, est Proxima du
Centaure, qui se trouve à 4,2 années de lumière de la Terre. Lorsque notre
technologie sera capable de construire un vaisseau spatial voyageant à une
vitesse v = 0,80c pour effectuer le trajet vers cette étoile: 4.1. Quelle sera la durée du voyage aller pour un observateur resté sur
Terre ?
4.2. Quelle sera la durée du voyage pour les passagers ? Donnée : relation entre durée mesurée et durée propre [pic]avec [pic] 5. Le cercle des planètes disparues (5 points). Connaître les trois de
Kepler. Exploiter la troisième. La planète Pluton, découverte par l'américain Clyde Tombaugh en 1930 était
considérée comme la neuvième planète de notre système solaire. Le 5 janvier 2005, une équipe d'astronomes a découvert sur des
photographies
prises le 21 octobre 2003 un nouveau corps gravitant autour du Soleil.
Provisoirement nommé 2003 UB313, cet astre porte maintenant le nom d'Éris
du
nom de la déesse grecque de la discorde.
La découverte d'Éris et d'autres astres similaires (2003 EL. 61, 2005
FY9...) a été le
début de nombreuses discussions et controverses acharnées entre
scientifiques
sur la définition même du mot « planète ». Au cours d'une assemblée générale, le 24 août 2006 à Prague 2500 astronomes de l'Union Astronomique Internationale (UAI) ont décidé à main levée de
déclasser
Pluton comme planète pour lui donner le rang de « planète naine » en
compagnie
d'Éris et de Cérès (gros astéroïde situé entre Mars et Jupiter). 5.1. Orbite d'Éris Éris parcourt une orbite elliptique autour du Soleil avec une période de
révolution
TE valant environ 557 années terrestres.
Données : période de révolution terrestre : TT =1,00 an ; période de
révolution de Pluton : TP = 248 ans 5.1.1. Énoncer précisément la troisième loi de Kepler, relative à la
période de révolution d'une planète autour du Soleil, dans le cas d'une
orbite elliptique.
5.1.2. L'orbite d'Éris se situe-t-elle au-delà ou en-deçà de celle de
Pluton ? Justifier sans calcul.
5.2. Découverte de Dysnomia
Les astronomes ont découvert ensuite qu'Éris possède un satellite naturel
qui a été baptisé Dysnomia (fille d'Éris et déesse de l'anarchie...). Six nuits d'observation depuis la Terre ont permis de reconstituer l'orbite
de Dysnomia. On obtient la photographie ci-contre. Données :
ME et MD sont les masses respectives d'Eris et de Dysnomia.
Masse de Pluton: MP = 1,31(1022 kg.
Rayon de l'orbite circulaire de Dysnomia : RD = 3,60(107 m.
Période de révolution de Dysnomia : TD = 15,0 jours ( 1,30(106 s.
Constante de gravitation universelle: G = 6,67(10-11 m3.kg-1.s-2. 5.2.1. Mouvement de Dysnomia Le mouvement de Dysnomia autour d'Eris est supposé circulaire et
uniforme. 5.2.1.1. Définir le référentiel permettant d'étudier le mouvement de
Dysnomia autour d'Éris. Par la suite, ce référentiel sera considéré comme
galiléen.
5.2.1.2. Établir l'expression du vecteur accélération [pic] du centre
d'inertie de Dysnomia en fonction des paramètres de l'énoncé et d'un
vecteur unitaire [pic] représenté sur le schéma ci-contre. 5.2.1.3. Préciser la direction et le sens de ce vecteur accélération. 5.2.1.4. Montrer que la période de révolution TD de Dysnomia a pour
expression :
TD = [pic].
Retrouve-t-on la troisième loi de Kepler ? Justifier. 5.2.2. Masse d'Éris 5.2.2.1. Déduire de l'expression de TD (question 5.2.1.4.) celle de la
masse Me d'Éris. Calculer sa valeur.
5.2.2.2. Calculer le rapport des masses d'Éris et de Pluton [pic].
Expliquer alors pourquoi la découverte d'Éris a remis en cause le statut
de planète pour Pluton. 1.1. Le pistolet et la balle, juste avant le tir, forment un système de
quantité de mouvement initiale nulle.
L'ensemble étant isolé, la quantité de mouvement du système est constante
et reste donc nulle après le tir.
Donc : [pic]
Le vecteur quantité de mouvement du pistolet est opposé à celui de la
balle, les normes de ces deux vecteurs sont donc égales d'où :
ppistolet = mballevballe = [pic]kg.m/s
La vitesse du pistolet, qui est la vitesse de recul de l'arme, est donc
[pic]m/s.
1.2. Les conditions étant les mêmes, la quantité de mouvement de la balle a
la même valeur, donc celle du fusil également. Mais celui-ci étant 4 fois
plus lourd, la vitesse de recul est 4 fois plus faible soit 0,15 m/s.
1.3. En maintenant fermement le fusil, le tireur devient solidaire de celui-
ci, augmentant considérablement la masse du système. La vitesse de recul
diminue donc encore. 2.1. La force électrique que subit l'électron est [pic]. Elle est opposée à
[pic] et donc orientée de B vers A. Elle dévie donc l'électron vers le
point C, plus proche de A que de B.
2.2. On applique la deuxième de loi de Newton au système constitué par
l'électron dans le référentiel terrestre supposé galiléen : [pic].
Le poids de l'électron étant négligé, les forces extérieures se résument à
la force électrique :
[pic]soit [pic]
A l'intérieur du dispositif, qui est un condensateur plan, le champ
électrique a pour norme [pic]et étant orienté de A vers B, ses coordonnées
sont donc [pic].
D'où les coordonnées de l'accélération [pic].
2.3. Par intégration des coordonnées de l'accélération, on obtient les
coordonnées de la vitesse puisque [pic]donc [pic].
Mais à t = 0, la vitesse [pic]d'où [pic]
Les équations horaires de x et de y s'obtiennent à nouveau par intégration
des coordonnées de la vitesse car [pic] donc [pic]= [pic] car à t = 0
l'électron est au point O. 2.4. L'électron arrive en x = l à la date tC telle que [pic] donc [pic].
L'ordonnée correspondante yC est [pic].
2.5. On en déduit que [pic].
[pic]C/kg.
Bien joué J.J ! 3.1. [pic]J
3.2. Les frottements étant négligeables, l'énergie mécanique se conserve,
et donc au sommet de sa trajectoire Em sommet = Em initiale.
Au sommet de la trajectoire, la vitesse de la balle est nulle d'où [pic]
Donc [pic]m
3.3. [pic]J 4.1. 4,2 années de lumière est la distance parcourue par la lumière à la
vitesse c égale à c(4,2.
Pour parcourir cette même distance à la vitesse 0,80c pour un observateur
resté sur Terre, la durée