Bac S 2012 Liban Exercice 2 : LE LUDION (5 points) Correction ...

Bac S 2012 Liban Exercice 2 : LE LUDION (5 points) Correction ©
http://labolycee.org 1. Principe de fonctionnement
1.1. Étude de l'équilibre
1.1.1. Le ludion subit la force poids [pic] et la poussée d'Archimède
[pic].
1.1.2. P = mL.g
[pic] = meau.g = ?eau.VL.g
1.1.3. Le système {ludion} de masse mL est immobile dans le référentiel
éprouvette.
D'après le principe d'inertie [pic] + [pic] = [pic],
[pic] = - [pic]
P = [pic]
mL.g = ?eau.VL.g
mL.g = ?eau.(VA1 + VB) .g
mL = ?eau.(VA1 + VB)
[pic]
[pic]
1.1.4. [pic] = [pic] = 5,0×10-6 m3 = 5,0 cm3
?eau exprimée en kg.m-3 donc mL est convertie en kg et VB est converti en
m3. 1.2. Mise en mouvement du ludion
1.2.1. L'air dans le ludion est considéré comme un gaz parfait donc :
Pair.VA1 = nair.R.T. Or la quantité d'air nair dans le ludion, la constante
des gaz parfaits R et la température T sont des constantes donc : Pair.VA1
= Cte. Ainsi si Pair augmente alors VA1 diminue.
1.2.2. Si VA1 diminue alors VL = VA1 + VB diminue car le volume VB est
constant. La poussée d'Archimède diminue et devient inférieure au poids du
ludion. Ainsi l'équilibre est rompu et le ludion entame un mouvement
vertical vers le bas. 2. Étude du mouvement du ludion
2.1. Le ludion est maintenant soumis à son poids [pic], à la poussée
d'Archimède [pic] et à une force de frottement [pic] de sens opposé au
mouvement vertical du ludion.
2.2. La deuxième de loi de Newton appliquée au système ludion, dans le
référentiel terrestre supposé galiléen donne :
[pic]
En projection selon l'axe Oz, vertical orienté vers le bas, et en
posant [pic], il vient :
PLz + [pic] + fz = mL.[pic]
mL.g - ?eau.VL.g - k.vz = mL.[pic]
en divisant par mL et avec vz = v, il vient :
mL.g - ?eau.VL.g - k.v = mL.[pic]
g - [pic] - [pic].v = [pic]
[pic]+[pic].v = [pic]
Finalement, avec VL = VA2 + VB :
[pic]+[pic].v = [pic] 2.3. L'équation précédente est bien de la forme : [pic]
Par identification entre les deux équations on a :
A = [pic] et B = [pic]
B = [pic]= 0,29 m.s(2. 2.4.1. Le pas d'itération est ?t = 0,10 s.
2.4.2. [pic] donc a4 = 0,29 - 2,4×0,08 = 0,098 m.s(2 ( 0,1 m.s(2.
Et [pic] soit v5 = v4 + a4.?t ; v5 = 0,08 + 0,098×0,10 = 0,09 m.s(1 .
La valeur de v5 peut être vérifiée sur le graphe donné en annexe. 2.4.3. La courbe obtenue avec la méthode d'Euler est située un peu au-
dessus de la courbe expérimentale. En diminuant le pas d'itération dans la
méthode d'Euler, on augmente la précision de la méthode ; la courbe de la
méthode d'Euler se rapprocherait alors de la courbe expérimentale mais le
nombre de lignes de calcul augmenterait. 2.4.4. Lorsque la vitesse limite est atteinte, v = vlim = Cte donc [pic]= 0
d'où : A.vlim = B
Finalement : vlim = [pic]
vlim = [pic]= 0,12 m.s(1 Valeur que l'on peut vérifier sur les
graphes.
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[pic] [pic] [pic] z O G