Éléments de correction du sujet MAT ? 08 ? PG3 ( Strasbourg 2008 ...

Éléments de correction du sujet MAT - 08 - PG3 ( Strasbourg 2008 ) Exercice n°1
1. Figure :
[pic]
2. - E est un point du cercle de diamètre [BC], donc le triangle EBC
est rectangle en E.
En effet, si dans un cercle, un triangle a pour sommets les
extrémités d'un diamètre et un point du cercle, alors ce triangle est
rectangle en ce point.
Donc (BE) est perpendiculaire à (AC).
- De même, D étant un point du même cercle, (CD) est perpendiculaire à (
AB).
- (BE) et (CD) sont donc deux hauteurs du triangle ABC ; leur point
d'intersection H est par conséquent l'orthocentre du triangle. (AH)
est donc la troisième hauteur de ce triangle, elle est alors par
définition perpendiculaire au côté (BC).
3. Voir figure ci-dessus
4. NACB et AMCB sont deux parallélogrammes.
- Dans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur.
On peut donc dire que AN = BC et AM = BC. On a donc aussi NA = AM.
- Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont parallèles deux à
deux.
Les droites (NA) et (BC) d'une part, (AM) et (BC) d'autre part sont
donc parallèles.
Les droites (NA) et (AM) étant toutes deux parallèles à le même
droite (BC) sont parallèles entre-elles : (NA) et (AM) sont donc
parallèles. De plus, ces deux droites ont le point A en commun,
elles sont donc confondues. Les points N, A et M sont donc alignés.
Les points N, A et M étant alignés tels que NA=AM, le point A est le
milieu de [NM]. Question complémentaire 1
1. On peut supprimer :
Ou bien : « mes diagonales ne sont pas perpendiculaires »
Ou bien : « mes côtés n'ont pas la même longueur »
La première phrase est nécessaire pour ne conserver que les
quadrilatères.
Or, dans un parallélogramme, si les diagonales sont perpendiculaires,
alors tous les côtés ont la même longueur et réciproquement ( losange
) donc les deux phrases sont redondantes.
La dernière information est nécessaire pour éliminer C.
2. Difficultés de vocabulaire :
Le mot « diagonale »ne fait pas partie des mots du programme à
connaître, l'expression « au moins » peut être source de difficultés,
ainsi que la personnification des figures géométriques (« J'ai...
je... »)
Difficultés de syntaxe : deux propriétés sont exprimées à la forme
négative.
3. Connaissances :
Connaître le vocabulaire de géométrie plane : sommet, côté, droites
perpendiculaires, angle droit...
Capacités :
- Reconnaitre de manière perceptive une figure plane
- Vérifier à l'aide des instruments : l'égalité de longueurs de
segments, la perpendicularité de deux droites.
4. Conséquences sur les procédures : le quadrillage est un outil
supplémentaire pour inférer des informations : parallélisme, égalité
de longueurs, perpendicularité..
Le quadrillage peut limiter la mobilisation de l'usage des instruments
( si les segments sont portés par des lignes du quadrillage ) et
perturber la vision perspective des figures ( fig A par exemple ) Exercice 2
1. Les dalles ont 29cm de côté.
a) Nombre maximal de dalles en largeur :
4,18m = 418 cm.
418 : 29 ? 14,41 ( à 0,01 près ) donc il pourra poser au maximum 14
dalles sur la largeur de la pièce.
b) Nombre maximal de dalles en longueur :
5,67m = 567 cm
567 : 29 ?19,55 ( à 0,01 près ) donc il pourra poser au maximum 19
dalles sur la longueur de la pièce.
c) Taille des joints dans la largeur de la pièce :
418 - ( 14 x 29 ) = 12
Il reste 12 cm pour les 15 joints.
12 : 15 = 0,8cm.
Taille des joints dans la longueur de la pièce :
567 - ( 19 x 29 ) = 16
Il reste 16cm pour les 20 joints.
16 : 20 = 0,8cm.
On aura bien la même largeur de joint 0,8cm partout. 2. Soit x le nombre de dalles nécessaires sur la largeur. Il y aura alors
(x+1) joints.
x est la plus petite solution entière de l'inéquation suivante :
[pic] équivalente à [pic]
12 dalles seront nécessaires en largeur.
De même ; le nombre y de dalles nécessaires en longueur est la plus
petite solution entière y de l'inéquation :
[pic] équivalente à [pic]
16 dalles seront nécessaires sur la longueur.
Le nombre de dalles est donc 16 x 12 = 192.
3. Coût avec des dalles de 29 cm :
14 x 19 x 2,30E = 611,80E
Coût avec des dalles de 36 cm :
12 x 16 x 3,10E = 595,20E
Même en ne réutilisant pas les découpes, le second choix est moins
onéreux. Question complémentaire 2
1. Plusieurs difficultés peuvent être évoquées :
- Liées aux données : une donnée est inutile ( les livres ) ; les termes
« livre » et « cahier » apparaissent dans des ordres « contraires »
dans les deux premières phrases.
- Liées à l'aspect sémantique : « chaque élève », « en tout ». 2. a) analyse des productions :
|Prénom des élèves |Procédure mise en |Erreurs éventuelles |
| |?uvre | |
|Arnaud |Il utilise un schéma |Il intègre la donnée |
| |figuratif qui |inutile ( 2+1=3). Son|
| |représente ce que |schéma ne correspond |
| |reçoit chaque élève |pas aux données de |
| | |l'énoncé ( 19 )et sa |
| | |procédure n'aboutit |
| | |pas. |
| | |Il ne répond pas à la|
| | |question. |
|Wassim |Pour trouver le |Il ne commet aucune |
| |résultat, il pose l' |erreur |
| |addition 19+19 en | |
| |colonne. Il donne une| |
| |phrase réponse | |
|Adeline |Adeline calcule tous |Elle commence à 1+1, |
| |les doubles jusqu'à |oublie 3+3 et |
| |5. |s'arrête à 5+5. |
| | |Elle ne va pas |
| | |jusqu'au bout et ne |
| | |répond pas à la |
| | |question. |
|Thomas |Il utilise un schéma |Il ne commet pas |
| |complet des 19 paires|d'erreur. |
| |de cahiers puis | |
| |dénombre par | |
| |comptage. | |
| |Il donne une phrase | |
| |réponse. | |
|Julia |Elle compte de deux |La présentation de |
| |en deux en écrivant |ses calculs ne lui |
| |une suite d'égalités |permet pas de |
| |les une sous les |contrôler le nombre |
| |autres ( elle essaye |de termes |
| |de comptabiliser le |additionnés. |
| |nombre de 2 ) |D'une ligne à |
| | |l'autre, elle fait |
| | |des erreurs de calcul|
| | |( 18+2=10 ; passage |
| | |de 17 à 18.. ) |
| | |Toutes les égalités |
| | |écrites, à part la |
| | |1ère, sont fausses. (|
| | |2+2=8.. ). |
| | |Elle ne répond pas à |
| | |la question. |
b) les regroupements sont effectués en distinguant la représentation
du problème qur peut se faire un élève de CE1 :
- Wassim et Adeline cherchent à calculer 19+19 ( en décomposant
l'action du maître en deux temps, d'abord un cahier à chaque élève
soit 19 cahiers, puis un second cahier, soit encore 19 cahiers ).
- Thomas et Julia cherchent à calculer 2+2+.. ( la somme de 19 termes
égaux deux à deux ), en imaginant la distribution de 2 cahiers à
chacun des 19 élèves. Arnaud se construit la même représentation du
problème mais intègre la donnée inutile et distribue donc 3 objets à
chaque élève.
3. Une trace écrite peut :
- Reprendre l'égalité des deux écritures 2+2+...+2 = 19+19
- Faire apparaitre que la 1ère écriture correspond à 19 fois le nombre (
terme ) 2, et la seconde 2 fois le nombre ( terme ) 19
- Introduire le signe « x » pour simplifier l'écriture de l'addition
réitérée
- Etablir l'égalité 19 x 2 = 2 x 19. Exercice 3
1. Soit N le nombre cherché.
En appelant c, d et u les chiffres des centaines, dizaines et unités,
on peut écrire :
N = 100c + 10d + u.
Prenons chaque renseignement donné par l'énoncé pour le traduire en
fonction de c, d et u.
« la somme des trois chiffres est égale à 14 » se traduit par
l'égalité : c + d + u = 14.
« ce nombre est plus grand que son nombre retourné » permet de dire
que c > u.
« la différence entre ce nombre et le nombre retourné est 99 » se
traduit par l'égalité :
( 100c + 10d + u ) - ( 100u + 10 d + u ) = 99 c'est-à-dire en
réduisant : 99c - 99u = 99
Ou e