SERIE D

MATHEMATIQUES - SERIE D - SESSION 2011 version pdf
[pic]
N.B. : - Les deux exercices et le problème sont obligatoires.
- Machine à calculer scientifique non programmable autorisée.
EXERCICE 1 (4points)
(corrigé) Soit l'équation (E) : [pic]
1°) Montrer que (E) admet une solution imaginaire pure [pic] où [pic] est
un nombre réel que l'on déterminera
2°) a- Montrer que (E) peut s'écrire sous forme :[pic] sont des nombres
complexes à déterminer.
b- Résoudre dans C l'équation (E)
3°) Dans le plan complexe (P) muni d'un repère orthonormé direct
(o;[pic]), d'unité 1cm,
On donne les points A,B, et C d'affixes respectives [pic]
a- Placer les points A, B, et C dans le plan (P).
b- On pose [pic]
Ecrire Z sous forme trigonométrique.
c- En déduire la nature de triangle ABC.
d- Trouver l'affixe du point D pour que le quadrilatère ABCD soit un
parallélogramme
4°) Soit S la transformation d'expression complexe [pic]
a- Quelle est la nature de S et donner ses éléments caractéristiques.
b- Construire l'image [pic] de [pic] par [pic] EXERCICE 2 (5 points)
(corrigé)
I) Une urne contient 8 boules indiscernables au toucher dont :
3 rouges numérotées : 2 ; 2 ; 5
5 blanches numérotées : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5
1) Le jeu consiste à tirer au hasard et simultanément deux boules de
l'urne.
Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
A : « obtenir deux boules de couleurs différentes »
B :« obtenir deux boules de numéros pairs »
C :« obtenir deux boules dont le produit des numéros est égal à 4 »
2) On tire au hasard et successivement avec remise 3 boules de l'urne.
Soit X la variable aléatoire définie par le nombre de boules portant le
numéro 5 obtenu.
a) Déterminer l'univers image de X
b) Donner la loi de probabilité de X
NB : On donnera les résultats sous forme de fraction irréductible.
II) On donne sur le tableau ci-dessous le nombre d'élèves d'un lycée ayant
réussi le Baccalauréat durant 4 années successives :
|Année |2007 |2008 |2009 |2010 |
|Rang de l'année |1 |2 |3 |4 |
|[pic] | | | | |
|Nombre d'élèves en |3 |5 |6 |9 |
|centaine [pic] | | | | | 1) Représenter le nuage des points [pic] associé à cette série
statistique.
Echelle : sur l'axe des abscisses, prendre 1cm pour représenter une unité.
Sur l'axe des ordonnées, placer 2 à l'origine des axes puis prendre 1cm
pour représenter 100 élèves.
2) Déterminer le point moyen G.
3) Calculer le coefficient de corrélation r et interpréter.
4) Ecrire l'équation de la droite de régression de y en x.
5) Combien de réussites peut-on espérer en 2014 ?
NB : Les résultats seront donnés à [pic]près. PROBLEME (10 points)
(corrigé)
On considère la fonction numérique [pic] définie sur [pic] par : [pic]
On note [pic] sa courbe représentative dans muni d'un repère orthonormé
(o,[pic]) d'unité 2cm
&) Soit g la fonction numérique définie sur [pic] par : [pic]
a) Etudier les variations de g et dresser son tableau de variation.
b- Démontrer que l'équation [pic] admet une solution unique notée [pic]
dans [pic] et que [pic]
c- En déduire le signe de [pic] suivant les valeurs de [pic]
2) a- Calculer[pic].
b) Calculer la dérivée [pic] et montrer que :[pic] pour tout [pic] élément
de [pic]
c) Montrer que [pic]
d) Dresser le tableau de variation de [pic].
3) a- Calculer [pic]et interpréter graphiquement e résultat.
b- Démontrer que la droite (D): [pic] est asymptote à [pic] au voisinage de
+[pic]
c- Etudier la position de [pic] par rapport à [pic].
4) a- Ecrire une équation de la tangente (T) à [pic] au point d'abscisse
[pic]=0
b- Montrer qu'il existe un point A de [pic] où [pic] admet une tangente
(T') parallèle à (D).
Trouver les coordonnées du point A.
5) Tracer (D), (T), (T') et [pic] dans le même repère. Pour la
construction, on prendra
[pic]
6) a- A l'aide d'une intégration par parties ; calculer [pic]
b- Déterminer, en cm2, l'aire A(() du domaine plan limité par [pic], (D)
et les droites d'équations x = 0 et x = (, (( > 0)
c) Calculer [pic]