activite n°1 : « positif ´ negatif - Euler

3ème Mathématiques Devoir n°1
2008/2009
1 heure
Calculatrice interdite
Exercice n°1 : Calculer, puis dire si le résultat est un nombre décimal ou
non décimal. (6 points )
[pic] [pic] [pic]
Exercice n°2 : Les phrases suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
Justifier les réponses. ( 4 points )
a. Si un nombre est pair, alors il a un nombre pair de diviseurs.
b. Tous les nombres premiers sont des entiers impairs.
c. Si un entier n est premier alors la somme de ses diviseurs est égale à
n + 1. Exercice n°3 : ( 3 points )
Démontrer la propriété suivante :
La somme de deux multiples de trois est un multiple de trois.
Exercice n°4 : D'après le Brevet (4 points)
On considère la fraction [pic].
a. Montrer que cette fraction n'est pas irréductible.
b. Déterminer le PGCD des nombres 170 et 578 (faire apparaître clairement
la méthode utilisée et les différentes étapes).
c. Écrire la fraction [pic] sous forme irréductible. Exercice n°5 : D'après le Brevet encore... (3 points)
Une association organise une compétition sportive ; 144 filles et 252
garçons se sont inscrits. L'association désire répartir les inscrits en
équipes mixtes. Le nombre de filles doit être le même dans chaque équipe.
Le nombre de garçons doit aussi être le même dans chaque équipe et tous les
inscrits doivent être dans une équipe. 1. Quel est le nombre maximal d'équipes que cette association peut
former ?
2. Quelle est alors la composition de chaque équipe ? 3ème Mathématiques Devoir n°1
2008/2009
1 heure
Calculatrice interdite
Exercice n°1 : Calculer, puis dire si le résultat est un nombre décimal ou
non décimal. (6 points )
[pic] [pic] [pic]
Exercice n°2 : Les phrases suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
Justifier les réponses. ( 4 points )
a. Si un nombre est pair, alors il a un nombre pair de diviseurs.
b. Tous les nombres premiers sont des entiers impairs.
c. Si un entier n est premier alors la somme de ses diviseurs est égale à
n + 1. Exercice n°3 : ( 3 points )
Démontrer la propriété suivante :
La somme de deux multiples de trois est un multiple de trois.
Exercice n°4 : D'après le Brevet (4 points)
On considère la fraction [pic].
a. Montrer que cette fraction n'est pas irréductible.
b. Déterminer le PGCD des nombres 170 et 578 (faire apparaître clairement
la méthode utilisée et les différentes étapes).
c. Écrire la fraction [pic] sous forme irréductible. Exercice n°5 : D'après le Brevet encore... (3 points)
Une association organise une compétition sportive ; 144 filles et 252
garçons se sont inscrits. L'association désire répartir les inscrits en
équipes mixtes. Le nombre de filles doit être le même dans chaque équipe.
Le nombre de garçons doit aussi être le même dans chaque équipe et tous les
inscrits doivent être dans une équipe. 1. Quel est le nombre maximal d'équipes que cette association peut
former ?
2. Quelle est alors la composition de chaque équipe ? 3ème Mathématiques Devoir n°1 - CORRECTION
2008/2009
Exercice n°1 : /6
[pic] [pic] donc [pic] [pic] [pic]
[pic] [pic] et [pic] [pic] soit [pic]
[pic] [pic] [pic]
Exercice n°2 : /4
Si un nombre est pair, alors il a un nombre pair de diviseurs. Faux 4 est
pair et 4 a trois diviseurs : 1 ; 2 et 4. /1
Tous les nombres premiers sont impairs. Faux 2 est un entier premier pair.
/1
Si un entier n est premier alors la somme de ses diviseurs est égale à n +
1. Vrai Si n est premier, il n'a que deux diviseurs 1 et lui-même. Donc la
somme de ses diviseurs vaut : 1 + n = n + 1 . /2 Exercice n°3 Soit deux multiples de 3, ils s'écrivent 3 ( n et 3 ( m où n
et m sont deux entiers naturels. Leur somme S vaut donc : S = 3 ( n + 3 ( m
soit en factorisant par 3 : S = 3 ( ( n + m) or n + m est un entier
naturel, donc S est bien un multiple de 3. /3 Exercice n°4 /4
a. 170 et 578 sont divisibles par 2 donc la fraction n'est pas
irréductible. /1
b. Le PGCD de 170 et 578 est 34. /2
c. [pic] donc [pic] et [pic]est irréductible car 5 et 17 sont premiers
entre eux. /1 Exercice n°5 : /3
Le nombre de filles est le même dans chaque équipe, donc le nombre
d'équipes divise le nombre de filles ; pour la même raison,il divise
également le nombre de garçons. De plus ce nombre d'équipe doit être
maximal, il s'agit donc du plus grand diviseur commun au nombre de filles
et au nombre de garçons ; c'est à dire le PGCD de 144 et 252. Il y a donc
36 équipes. /2
Or 144 = 36 ( 4 et 252 = 36 ( 7. Donc chaque équipe est composée de 4
filles et 7 garçons. /1
3ème Mathématiques Devoir n°1 - CORRECTION
2008/2009
Exercice n°1 : /6
[pic] [pic] donc [pic] [pic] [pic]
[pic] [pic] et [pic] [pic] soit [pic]
[pic] [pic] [pic]
Exercice n°2 : /4
Si un nombre est pair, alors il a un nombre pair de diviseurs. Faux 4 est
pair et 4 a trois diviseurs : 1 ; 2 et 4. /1
Tous les nombres premiers sont impairs. Faux 2 est un entier premier pair.
/1
Si un entier n est premier alors la somme de ses diviseurs est égale à n +
1. Vrai Si n est premier, il n'a que deux diviseurs 1 et lui-même. Donc la
somme de ses diviseurs vaut : 1 + n = n + 1 . /2 Exercice n°3 Soit deux multiples de 3, ils s'écrivent 3 ( n et 3 ( m où n
et m sont deux entiers naturels. Leur somme S vaut donc : S = 3 ( n + 3 ( m
soit en factorisant par 3 : S = 3 ( ( n + m) or n + m est un entier
naturel, donc S est bien un multiple de 3. /3 Exercice n°4 /4
d. 170 et 578 sont divisibles par 2 donc la fraction n'est pas
irréductible. /1
e. Le PGCD de 170 et 578 est 34. /2
f. [pic] donc [pic] et [pic]est irréductible car 5 et 17 sont premiers
entre eux. /1 Exercice n°5 : /3
Le nombre de filles est le même dans chaque équipe, donc le nombre
d'équipes divise le nombre de filles ; pour la même raison,il divise
également le nombre de garçons. De plus ce nombre d'équipe doit être
maximal, il s'agit donc du plus grand diviseur commun au nombre de filles
et au nombre de garçons ; c'est à dire le PGCD de 144 et 252. Il y a donc
36 équipes. /2
Or 144 = 36 ( 4 et 252 = 36 ( 7. Donc chaque équipe est composée de 4
filles et 7 garçons. /1