Exercices de spécialités maths

Exercices de spécialités maths. Exercice 1 (bacc. blanc, avril 2007)
Sujet:
Démonstration de cours: Démontrer que, étant donné 4 points A, B, A', B' du
plan tels que A ( B et A' ( B', il existe une similitude plane direct
unique s telle que s(A) = A' et s(B) = B'.
Exercice
L'exercice doit être illustré par une figure comprenant tous les éléments
qui y sont définis.
On suppose que le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O; , )
(unité graphique 1 cm).
On donne les points A, B et C définis par leurs affixes:
zA = -2i ; zB = 1+i ; zC = -5+3i.
On désigne par f la similitude plane directe telle que f(A) = B et f(B) =
C.
1. Déterminer l'expression complexe de la similitude f.
En déduire les éléments caractéristiques de cette similitude.
On note dans la suite par ( le centre de la similitude f.
2. Cette question de l'exercice doit être traitée sans utilisation des
nombres complexes.
On désigne par C le cercle de centre A passant par ( et par C' le
cercle de centre B passant par (.
Les cercle C et C' se coupent en ( et en un autre point M.
a) Soit N l'antécédent de M par f . Démontrer que le point N est
le point diamétralement opposé à M sur le cercle C
b) Soit P = f(M). Démontrer que le point P est le point
diamétralement opposé à M sur cercle C'
c) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la
transformation g = fof.
En déduire que les points (, N et P sont alignés. Exprimer le
vecteur en fonction du vecteur .
Corrigé:
Figure: voir la figure à la fin de l'exercice.
1. Déterminer l'expression complexe de la similitude f.
L'écriture complexe d'une similitude plane directe est de la forme: z' =
az + b.
Comme f(A) = B et f(B) = C, (a,b) est la solution du système:
[pic] ( [pic] ( [pic]
L'écriture complexe de f est donc: z' = 2iz - 3 + i .
En déduire les éléments caractéristiques de cette similitude.
Le rapport de f est le module de a: k = |a| = 2. L'angle de f est un
argument de a: ( = arg(a) = ).
Le centre ( de f d'affixe ( est le point invariant de de la similitude. (
est donc la solution de l'équation:
( = 2i( - 3 + i ( (1-2i)( = -3+i ( ( = ) = )= -1-i
f est la similitude de centre ((-1-i), de rapport 2 et d'angle ) .
2. On désigne par C le cercle de centre A passant par ( et par C' le
cercle de centre B passant par (.
Les cercle C et C' se coupent en ( et en un autre point M.
a) Soit N l'antécédent de M par f . N est le point diamétralement
opposé à M sur le cercle C
L'image du cercle C de centre A et passant par ( par la similitude f est
le cercle de centre f(A) et passant par f((), c'est-à-dire le cercle de
centre B passant par ( . L'image du cercle C est donc le cercle C'.
Comme M appartient à C', son antécédent N par f appartient à C. Les trois
points M, N, ( sont situés sur C.
Par ailleurs, comme f(N) = M et f(() = ( , (,) est égal modulo 2( à l'angle
de la similitude ). Le triangle (MN est donc un triangle rectangle en ( et
son cercle circonscrit C a pour diamètre [MN], ce qui prouve que les points
M et N sont diamétralement opposé sur le cercle C.
b) Soit P = f(M). Démontrer que le point P est le point
diamétralement opposé à M sur cercle C'.
Comme C' est l'image de C par f , et que M appartient à C, alors le point P
image de M par f appartient à C'.
Par ailleurs, comme f(M) = N et f(() = ( , ( , ) est égal modulo 2( à
l'angle de la similitude ). Le triangle (MP est donc un triangle rectangle
en ( et son cercle circonscrit C' a pour diamètre [MP], ce qui prouve que
les points M et P sont diamétralement opposé sur le cercle C'.
c) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la
transformation g = fof.
g = fof est la composée de deux similitudes planes directes, c'est donc une
similitude plane directe. Son rapport est le produit des rapports de ces
deux similitudes, il est égal à 2(2 = 4. Son angle est la somme, modulo 2(,
des angles des deux similitudes, il est donc égal à (. Le centre des deux
similitudes étant le même, il ne change pas pour la composée. On en déduit
que g est la similitude plane directe de centre (, de rapport 4 et d'angle
(.
g est donc l'homothétie de centre ( et de rapport -4 .
En déduire que les points (, N et P sont alignés.
g(N) = f(f(N) = f(M) = P. P est donc l'image de N par une homothétie de
centre (, ce qui prouve que (, N et P sont alignés.
Exprimer le vecteur en fonction du vecteur .
Comme l'homothétie de centre ( et de rapport -4 transforme N en P, on a:
= -4. Il en résulte:
= - = -4 - = -5 . [pic]
Exercice 2 (bacc. blanc, avril 2008)
Sujet:
(O;,) est un repère orthonormal direct du plan complexe (unité graphique 1
cm).
On considère les points A, B et C définis par leur affixe:
A(-i) , B(i) , C(4-i).
On construira une figure que l'on complétera au fur et à mesure.
Partie A
1. a) Trouver l'écriture complexe de la similitude plane indirecte f
pour laquelle le point A est invariant et f(B) = C. (On admet que f existe
et qu'elle est unique).
b) Déterminer l'ensemble des points invariants de f.
c) Soit D = f(C), M le milieu du segment [BC] et N = f(M).
Calculer les affixes des points D et N et montrer que les
droites (AN) et (BC) sont orthogonales.
2. Déterminer l'écriture complexe de fof. En déduire la nature et les
éléments caractéristiques de cette transformation.
Partie B
Les résultats obtenus dans la partie A peuvent être appliqués sans avoir à
les justifier de nouveau.
1. Montrer, sans utiliser les nombres complexes, que le point N est le
milieu du segment [CD].
2. a) Montrer que l'image de la droite (AN) par f est la droite (AM).
b) En déduire que les droites (AM) et (CN) sont orthogonales.
c) Que représente le point M pour le triangle ACN ? Justifier. Corrigé:
La figure est tracée à la fin de l'exercice. Partie A
1. a) Trouver l'écriture complexe de la similitude plane indirecte f
pour laquelle le point A est invariant et f(B) = C. (On admet que f existe
et qu'elle est unique).
L'écriture complexe d'une similitude indirecte est de la forme: z ' =
a[pic]+ b, où a et b sont deux nombres qu'il faut calculer. En remplaçant,
on obtient le système:
[pic] ( [pic] ( [pic].
L'écriture complexe de f est: z ' = 2i[pic]+ 2 - i.
b) Déterminer l'ensemble des points invariants de f.
Un point ( d'affixe ( est invariant par f si, et seulement si, f(() = (.
On pose ( =x+iy, ce qui donne:
x+iy = 2i(x-iy) + 2 - i ( x+iy = 2y+2 + i(2x-1) ( [pic] (
(x;y) = (0;-1).
Le seul point invariant de f est le point A.
c) Soit D = f(C), M le milieu du segment [BC] et N = f(M).
Calculer les affixes des points D et N et montrer que les
droites (AN) et (BC) sont orthogonales.
L'affixe de D est: 2i(4+i)+2-i = 7i
L'affixe de M est 2 et par suite l'affixe de N est 2i(2)+2-i = 2+3i.
On a alors (2;4) et (4;-2). Leur produit scalaire est: . = 8-8 = 0. Les
vecteurs et sont donc orthogonaux, les droites (AN) et (BC) sont aussi
orthogonales.
2. Déterminer l'écriture complexe de fof. En déduire la nature et les
éléments caractéristiques de cette transformation.
Soit L(z), L1(z1) son image par f et L'(z ') l'image de L1 par f. L' est
donc l'image de L par fof. On a:
z1 = 2i[pic]+2-i et z ' = 2i[pic]+2-i, ce qui donne: z ' = 2i([pic]+2-i =
2i(-2iz+2+i)+2-i = 4z + 3i.
L'écriture complexe de fofest: z ' = 4z+3i.
Comme A est invariant par f, il est aussi invariant par fof. Pour tout
point L(z) d'image L'(z') par fof on a:
z'-(-i) = 4z+3i-(-i) = 4(z-(-i)). Il en résulte que fof est l'homothétie de
centre A et de rapport 4.
Partie B
1. Montrer, sans utiliser les nombres complexes, que le point N est le
milieu du segment [CD].
Comme une similitude conserve les milieux, l'image par f du milieu M de
[BC] est le milieu N de l'image de [BC] par f. Or l'image de [BC] par f est
[CD]. Donc N est le milieu de [CD].
2. a) Montrer que l'image de la droite (AN) par f est la droite (AM).
La droite (AN) est l'image de (AM) par f puisque f(A) = A et f(M) = N. On a
donc: (AN) = f(AM). Il en résulte que f(AN) = f(f(AM)) = (fof)(AM) = (AM)
car fof est une homothétie de centre A et l'image d'une droite passant par
le centre d'une homothétie par cette homothétie est la droite elle-même.
b) En déduire que les droites (AM) et (CN) sont orthogonales.
Les droites (AN) et (BC) sont orthogonales (partie A, 1. c.), leurs images
par f sont donc aussi orthogonales parce qu'une similitude conserve
l'orthogonalité. On en déduit que les droites (AM) et (CD) sont
orthogonales. Comme N appartient à (CD), les droites (AM) et (CN) sont
orthogonales.
c) Que représente le point M pour le triangle ACN ? Justifier.
Les droites (CB) et (AM) sont deux hauteurs du triangle ACN. Le point M est
donc l'orthocentre du triangle ACN.
[pic]
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P N M C' C ( B A C