Exercice 2.9

[pic]

FUNDP
Faculté des sciences économiques,
sociales et de gestion


Première candidature en Sciences économiques et de gestion
Première candidature en Sciences politiques et sociales
Première candidature en ingénieur de gestion


Exercices récapitulatifs de probabilités discrètes

Enoncés et solutions : chapitres 2 & 3.







Jean-Charles JACQUEMIN
Professeur
Ce document, qui à terme comportera plus de 100 exercices récapitulatifs et
une (ou plusieurs) proposition(s) de solution pour chacun d'eux, doit être
utilisé comme un outil de contrôle de sa propre démarche dans la résolution
des problèmes de probabilité se trouvant en fin de section ou chapitre et
également à la fin des notes de cours.

Il est de première importance d'essayer de résoudre d'abord les exercices
avant de consulter les suggestions de correction.

Je tiens à remercier ici tous les assistants du cours depuis que je
l'enseigne, et en particulier Eric Toulemonde, Anne-Sophie Brasselle,
Christine Marsigny et Ghislaine Bauwens, qui par leur remarques et
suggestions ont apporté des améliorations significatives aux énoncés ainsi
qu'à certaines propositions de solution.
Les générations passées d'étudiants ont inspiré également chaque année des
améliorations et leurs réactions ont également permis d'affiner le texte.

N.B. Le texte contiendra au fur et à mesure de sa finalisation quelques
liens hypertexte de la table des matières vers l'énoncé et le corrigé de
l'exercice considéré.
Table des matières


Chapitre 2
Exercice 2.1
Exercice 2.2
Exercice 2.3
Exercice 2.4
Exercice 2.5
Exercice 2.6
Exercice 2.7
Exercice 2.8
Exercice 2.9
Exercice 2.10
Exercice 2.11
Exercice 2.12

Chapitre 3
Exercice 3.1
Exercice 3.2
Exercice 3.3
Exercice 3.4
Exercice 3.5
Exercice 3.6
Exercice 3.7
Exercice 3.8
Exercice 3.9
Exercice 3.10
Exercice 3.11
Exercice 3.12
Annexe au chapitre 2 : Exercices récapitulatifs
Exercice 2.1 :

On tire une carte d'un jeu de 32 cartes. Soit A = « Tirer un c?ur » et B =
«Tirer un as ».
Prouver que A et B sont indépendants.


Pour montrer l'indépendance, on doit donc prouver (définition statistique
de l'indépendance) que P(A/B) = P(A) = P(A(B)/ P(B) ou P(A(B) = P(B).P(A).

L'approche classique va être utilisée pour calculer les probabilités de A,
B et A(B.
P(A(B) est la probabilité de l'événement : « Tirer un as de c?ur. » =
[pic] ; P(A) = [pic] et P(B) = [pic].(Formules de Laplace)
Donc P(B).P(A) = [pic] = P(A(B). A et B sont donc indépendants.




Exercice 2.2

Une usine fabrique des pièces en grande série, en deux phases
indépendantes. La première phase est susceptible de faire apparaître un
défaut X et la seconde un défaut Y.
Une pièce peut présenter le défaut X dans 2% des cas et le défaut Y dans 8%
des cas.

Quelle est la probabilité qu'une même pièce tirée au hasard :
a) présente les deux défauts ? P(A) ?
b) présente au moins l'un des deux défauts ? P(B) ?
c) présente un et un seul des deux défauts ? P(C) ?
d) ne présente aucun des deux défauts ? P(D) ?

N.B. Il est utile de représenter graphiquement (via des diagrammes de Venn)
les événements dont on cherche la probabilité ; de montrer que si un
événement X et un événement Y sont indépendants, leurs complémentaires le
sont également ainsi que de développer les solutions de façon alternative
via un diagramme en arbre.

Solution :

Quelle est la probabilité qu'une même pièce tirée au hasard :

a) présente les deux défauts ? P(A) ?

Soit : X : « La pièce présente le défaut X » ; Y : « La pièce présente le
défaut Y ».
Alors : P(X) = 0,02 ; P(Y) = 0,08 ; P([pic]) = 0,98 ; P([pic]) = 0,92.
X et Y sont indépendants de même que [pic] et [pic].

Preuve :

Si X et Y sont indépendants,

P(X(Y) = P(X).P(Y) et P([pic]) = 1 - P(X) et P([pic]) = 1 - P(Y).

Si [pic] et [pic] sont indépendants,

P([pic]( [pic]) = P([pic]).P([pic]) = (1 - P(X)).(1 - P(Y)) = 1 - P(X) -
P(Y) + P(X).P(Y).

Or ([pic]( [pic]) = ~(X(Y) (Loi de de Morgan)et P(X(Y) = P(X) + P(Y) -
P(X).P(Y).

Donc P(~(X(Y)) = 1 - P(X(Y) = 1 - P(X) - P(Y) + P(X).P(Y) = P([pic](
[pic]). q.e.d.

Donc P(A) = P(X et Y) = P(X(Y) = P(X).P(Y) = 0,02 . 0,08 = 0,0016.


b) présente au moins l'un des deux défauts ? P(B) ?

P(B) = 1 - P([pic]( [pic]) = 1 - P([pic]).P([pic]) = 1 - (0,98 .0,92) =
0,0984.

c) présente un et un seul des deux défauts ? P(C) ?

P(C) = P(X ou(excl.) Y) = P(X(Y) - P(X(Y) = P(X) + P(Y) - 2 . P(X(Y)
= 0,02 + 0,08 - (2 .(0,02 . 0,08))
= 0,10 - 0,0032 = 0,0968.
ou

P(C) = P(B) - P(A) = 0,0984 - 0,0016 = 0,0968.

ou

P(C) = P(X et [pic]) ou (excl.) P([pic]et [pic]) = P(X ( [pic]) + P([pic](
[pic]) :

en effet P(X et [pic]) ( P([pic]et [pic]) = P(X ( [pic]) (([pic]( [pic]) =
(,

donc P(C) = 0,02 . 0,92 + 0,08 . 0,98 = 0,0968.

d) ne présente aucun des deux défauts ? P(D) ?

P(D) = 1 - P(B) = 1 - 0,0984 = 0,9016.

ou

P(D) = P([pic]et [pic]) = P([pic]( [pic]) = P([pic]) . P([pic]) = 0,98
.0,92 = 0, 9016.



DEVELOPPEMENT EN ARBRE












Exercice 2.3

Une machine industrielle comprend trois organes de fonctionnement. Si l'un
d'entre eux présente une défaillance, la machine tombe en panne. Les
défaillances possibles de ces organes sont indépendantes et les
probabilités de défaillance sont respectivement 0,02, 0,05 et 0,10.

Quelle est la probabilité que la machine tombe en panne ? P(D) ?

Soit A,B, C, les événements : « L'organe i fonctionne, i = A, B, C. ».
Donc [pic] = [pic].
Donc [pic] correspondent à l'événement : « L'organe i est tombé en
panne. ».
[pic]

N.B. IMPOSSIBLE par [pic]
= 0,02 + 0,05 + 0,10 = 0,17.
car [pic], [pic]et [pic] ne sont pas incompatibles entre eux.

Exercice 2.4


Une machine automatique comprend trois organes notés O1, O2 et O3. Les
organes O1 et O2 sont interchangeables : si l'un d'eux est défectueux,
l'autre prend le relais ; par contre, l'organe O3 est indépendant de O1 et
O2. La machine tombe en panne si O1 et O2 ou O3 sont défectueux.
On désigne par A, B, C respectivement les événements suivants « O1, O2, O3
est défectueux. ».

Calculer la probabilité que la machine tombe en panne, P(D), en fonction
des probabilités d'événements qui soient des réunions des événements
élémentaires A, B et C.

Solution :

D = (A(B)(C = (A(C)((B(C).

Et [pic] désignera l'événement : « La machine fonctionne. » ( [pic].

( P([pic]= [1-P(C)].[1-P(A).P(B)] = 1- P(A).P(B) - P(C) + P(A).P(B).P(C).

( P([pic]= 1- P([pic]= P(A).P(B) + P(C) - P(A).P(B).P(C).

Exercice 2.5


Un système de chauffage central au fioul comporte une pompe et un brûleur
montés en série. Ces deux éléments peuvent tomber en panne durant l'hiver.
Tout le système s'arrête si l'un des deux éléments est en panne.

a. Supposons que le système ait été activé pendant un hiver et qu'un
résultat (x,y) soit enregistré : x = 0 si la pompe fonctionne durant tout
l'hiver sans défaillance, autrement x = 1 ; de même y = 0 si le brûleur
fonctionne correctement, autrement y = 1.


Décrivez et représentez graphiquement :
- en compréhension et en extension l'espace d'échantillonnage associé à
cette épreuve ;
S = {(0,0), (1,0), (0,1), (1,1)} ou S = {(x,y) ( x = 0,1 et y = 0,1}.
Représentation graphique :















- en extension, les événements suivants :
- B = « Le brûleur tombe en panne durant l'hiver » ;
B = {(0,1), (1,1)}.










- P = « La pompe tombe en panne durant l'hiver » ;
P = {(1,0), (1,1)}.




C= « Le système de chauffage passe l'hiver sans panne ».
C = {(0,0)}.







- Donnez en plus de la description en extension, la signification et/ou
la définition des événements suivants :
- P(B ;
P(B = {(1,1)} = «La pompe et le brûleur tombent tous deux en panne
durant l'hiver ».
- P(B ;
P(B = {(1,0), (0,1), (1,1)} = «Le système est tombé en panne durant
l'hiver ».
- C(P;
C(P = ( , il est impossible pour le système de fonctionner tout
l'hiver (C) quand la pompe a connu une défaillance (P). Ces deux
événements sont dits disjoints.
- P([pic].
P([pic]est facile à vérifier, on dit que P implique [pic] : en effet
si la pompe casse, le système ne fonctionne pas.


b) La probabilité de panne de la pompe est P(P) et celle du brûleur,
P(B), les pannes sont indépendantes. Si P(P) = 0,10 et P(B) = 0,05.

Quelle est la probabilité :
- que l'on ait froid pendant l'hiver ?


P(B = {(1,0), (0,1), (1,1)} = «Le système est tombé en panne durant
l'hiver. »
= P(P) + P(B) - P(P(B) = P(P) + P(B) - P(P) . P(B) = 0,10 + 0,05
- 0,10 . 0,05 = 0,145.


- que l'on doive réparer simultanément les deux composants du système ?


P(P(B) = P(P) . P(B) = 0,10 . 0,05 = 0,005.
Exercice 2.6

Dans une population de jeunes, il y a 40% de fumeurs et 30% atteints par
une maladie respiratoire. Parmi les fumeurs 60% sont atteints par la
maladie.


Quelle est la probabilité pour que quelqu'un atteint par la maladie soit
également fumeur ? (N.B. Modélisez la résolution du problème d'au moins
deux façons différentes).


Soit F = « Etre fumeur. ». P(F) = 0,4.
Soit M = « Etre malade. ». P(M) = 0,3.
Et P(M/F) = 0,6.
Soit NF = « Etre non fumeur. » et NM = « Etre en bonne santé. ».




P(F/M) = [pic].

SOLUTION PAR LE DIAGRAMME EN ARBRE
En noir, données de l'énoncé et de la théorie
Probabilités
jo