Correction au format DOC - Mathématiques ? Académie de Besançon

Corrigé sujets académiques - Académie de Besançon - olympiades 2012 -
mathématiques
EXERCICE I Eléments de correction I - Un premier algorithme 1. a) Pour 123, on obtient 321 puis 198 puis 891 et enfin 1089.
Pour 448, on obtient 844 puis 396 puis 693 et enfin
1089.
Pour 946, on obtient 649 puis 297 puis 792 et enfin
1089.
b) Conjecture : quel que soit le nombre de départ, on obtient
1089 à la fin de l'étape 4. 2. Entrée :
n est un entier naturel
Initialisation :
Donner à a la valeur 0
Donner à b la valeur 0
Donner à c la valeur 0
Traitement :
Tant que n ( 100
Affecter à a la valeur a + 1
Affecter à n la valeur n - 100
Fin Tant que
Tant que n ( 10
Affecter à b la valeur b + 1
Affecter à n la valeur n - 10
Fin Tant que
Affecter à c la valeur n
Sortie :
Afficher a
Afficher b
Afficher c 3. a) abc = a[pic]102 + b[pic]101 + c[pic]100. b) Le nombre obtenu après l'étape 1 est : c[pic]102 + b[pic]101
+ a[pic]100. c) Le nombre obtenu après l'étape 2 est :(c[pic]102 + b[pic]101
+ a[pic]100) - (a[pic]102 + b[pic]101 + c[pic]100)
soit 99(c - a).
Or, (c - a - 1)[pic]100 + 9[pic]10 + 10 + a - c =
99(c - a) d) Le nombre obtenu après l'étape 3 est : (10 + a - c)[pic]100
+ 9[pic]10 + c - a - 1
et : [(10 + a - c)[pic]100 + 9[pic]10 + c - a - 1] +
[(c - a - 1)[pic]100 + 9[pic]10 + 10 + a - c] = 1089
II - L'algorithme de Kaprekar 1. a) K(198) = 981 - 189 = 792
K(357) = 753 - 357 = 396
K(495) = 954 - 459 = 495 b) Entrée :
n est un entier naturel
Initialisation :
Donner à a la valeur 0
Donner à b la valeur 0
Donner à c la valeur 0
Traitement :
Tant que n ( 100
Affecter à a la valeur a + 1
Affecter à n la valeur n - 100
Fin Tant que
Tant que n ( 10
Affecter à b la valeur b + 1
Affecter à n la valeur n - 10
Fin Tant que
Affecter à c la valeur n
Si a < b alors
Si b < c alors
K = (100c + 10b + a) - (100a +
10b + c)
Sinon
Si a < c alors
K = (100b + 10c + a) -
(100a + 10c + b)
Sinon
K = (100b + 10a + c) -
(100c + 10a + b)
Fin de Si
Fin de Si
Sinon
Si a < c alors
K = (100c + 10a + b) - (100b +
10a + c)
Sinon
Si b < c alors
K = (100a + 10c + b) -
(100b + 10c + a)
Sinon
K = (100a + 10b + c) -
(100c + 10b + a)
Fin de Si
Fin de Si
Fin de Si
Sortie :
Afficher K 2. Avec 198, on obtient 792 puis toujours 495.
Conjecture : quel que soit le nombre de départ, on obtient 495
après plusieurs itérations. 3. a) Les rôles des variables a, b et c sont symétriques, on peut
donc supposer que a < b < c
sans perdre de généralité. b) K(n) = (100c + 10b + a) - (100a + 10b + c) = 99(c - a). c) c - a est un entier compris entre 2 et 8.
K(n) peut donc prendre les valeurs 198, 297, 396,
495, 594, 693 et 792.
Si on applique l'algorithme de Kaprekar autant de
fois que nécessaire aux entiers
précédents, on obtient toujours 495 au bout d'un
certain nombre d'itérations :
198 - 792 - 693 - 594 - 495 ; 297 - 693 - 594 -
495 ; 396 - 594 - 495 ; 495 ; 594 - 495 ;
693 - 594 - 495 ; 792 - 693 - 594 - 495.
On constate que le nombre 495 est atteint en cinq
itérations au maximum.
EXERCICE II
Eléments de correction Partie A 1) a) Oui, par exemple avec la marche : A ( B ( A ( B
b) B ou D d'après l'arbre de choix suivant : c) Par généralisation de l'arbre ci-contre, les arrivées
possibles pour les marches contenant un nombre pair de
déplacements sont : A et C d) Les arrivées possibles pour les marches contenant un
nombre impair de déplacements sont : B et D 2) A l'aide l'arbre ci-contre : P(A2) = 2 ( [pic] ( [pic] = [pic] 3)
|Nombre de |1 |2 |3 |4 |5 |
|déplacements de la| | | | | |
|marche | | | | | |
|Probabilité que la|0 |[pic] |0 |[pic] |0 |
|coccinelle arrive | | | | | |
|en A | | | | | | P(A2) = [pic] d'après 2)
P(A1) = P(A3) = P(A5) = 0 d'après 1) d)
P(A4) = 8 ( [pic] = [pic] car il y a 8 marches possibles
de 4 déplacements. Chaque déplacement a une probabilité de
[pic]
(2ème justification : Suite à 4 déplacements, il n'y a que
deux arrivées possibles A ou C qui sont
équiprobables donc [pic]) Partie B 1) D'après l'arbre ci-contre :
a) P(A2) = [pic] ( [pic] + [pic] = [pic]
b) P(C2) = [pic] ( [pic] + [pic] = [pic] ou bien P(C2) = 1 -
P(A2) Suite à deux déplacements, on remarque que la
probabilité de revenir sur le même sommet est [pic]
et la probabilité d'arriver sur le sommet opposé est
[pic]
2) L'arbre ci-après illustre l'ensemble des marches tous les deux
déplacements :
a) P(A4) = [pic] = [pic]
b) P(A6) = [pic] = [pic] 3) a) En raisonnant toujours tous les deux déplacements,
la seule marche possible pour que la coccinelle
arrive en A en effectuant exactement 2n
déplacements est :
[pic] C'est-à-dire que la coccinelle doit se rendre une
première fois sur le sommet opposé à A, revenir sur le
même sommet C (n- 2) fois et enfin revenir sur le sommet opposé A. On obtient donc P(A2n) = [pic] = [pic] b) P(G2n) = P(A2) + P(A4) + P(A6) + .... + P(A2n)
= [pic] + [pic] + [pic] +
....... + [pic]
= [pic] + [pic]
= [pic] + [pic]
= [pic] + [pic]
= [pic] c) P(G2n) ( 0,9999 à partir de n = 16 donc 32 déplacements. -----------------------
A B D A A C C B B B B D D D D A B D A A C C [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] A A C A A C C A A A A C C C C [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] A ( C ( C ( .............( C ( A n - 2 fois