CONTRAINTES ET DEFORMATIONS PRINCIPALES

TP N° 1
DEFORMATIONS ET CONTRAINTES
1er ESSAI : CONTRAINTES ET DEFORMATIONS PRINCIPALES I INTRODUCTION : Le but de cette expérience est de mesurer les déformations
suivant trois directions au voisinage d'un point d'une poutre sollicitée en
flexion simple, d'en calculer les contraintes et de les comparer avec les
formules théoriques des poutres.
Dans le cas le plus général, un état de contrainte dépend de
trois paramètres et nécessite trois mesures par 3 jauges dirigées suivant
trois directions. Nous agirons dans ce qui suit comme pour un semblable
état de contraintes bien que, pour cette poutre en flexion, nous puissions
nous attendre à retrouver les résultats théoriques connus. L'état de
contraintes d'une poutre symétrique en flexion est uniaxiale (sauf au
voisinage de l'encastrement et du point d'application des charges). L'état
de déformation est biaxial. Théoriquement, on pourrait mesurer l'état de
déformations par trois jauges réparties suivant trois directions
quelconques, mais les calculs seraient plus complexes. On préfère donc
positionner les trois jauges selon des angles sous multiples de ?. On
fabrique sous le nom de Rosettes des ensembles de trois Jauges montées sur
le même support et positionnées à la fabrication suivant des angles précis.
Les rosettes à 60° sont dites rosettes « DELTA » cependant que celles à 45°
sont dites rosettes « RECTANGULAIRES »
Dilatation linéaire en repère principal. Pour l'expérience qui suit, nous utiliserons des rosettes
« DELTA ». Avec une telle rosette, les mesures étant ?a, ?b, ?c, les
déformations principales ainsi que les directions principales sont données
par les relations suivantes:
Déformations principales: Maximale: ?1;
Minimale: ?2
Angle que fait la jauge A avec la direction de la déformation
principale maximale ?1 : (.
Axe des jauges représenté sur le cercle
de Mohr
?1 = d + r des déformations.
?2 = d - r
tg (2() = ((3 . (?b - ?c) / (2?a - ?b - ?c)
avec d = (?a + ?b + ?c )/3
r = (?a - d) / cos2(
II RECHECHE DES RELATIONS :
Sachant que (( = ((1 + (2)/2 + (((1 - (2)/2).cos(2() exprime la
déformation dans la direction ( par rapport à la direction principale
maximale et retrouvons les relations caractéristiques pour une rosette
DELTA: On a : ?1 = d + r
?2 = d - r
d'où : d = (?1 + ?2)/2
r = (?1 - ?2)/2
Or ?( = (?1 + ?2)/2 + ((?1 - ?2)/2).cos 2(
?( = d + r.cos 2(
ainsi ?a = d + r.cos 2?
?b = d + r.cos 2(? + 60)
?c = d + r.cos 2(? + 120)
?a = d + r.cos 2?
?b = d + r.(-cos2?/2 + (3 / 2 . sin2?)
?c = d + r.(-cos2? /2 - (3 / 2 . sin2?)
Donc r = (?a - d) / cos 2?
En additionnant, on a ?a + ?b + ?c = 3d
d'où d = (?a + ?b + ?c) / 3
cos2? ' (?a - d) / r
= (2?a - ?b - ?c) / 3r
sin2? ' (?b - d + (-d+ ?a)/2) . 2 / ((3 . r)
= (?b - ?c) / ((3 . r)
tg 2? ' (3 . (?b - ?c) / (2?a - ?b - ?c)
III ETUDE THEORIQUE DE LA POUTRE SOLLICITE EN FLEXION SIMPLE :
Soit une poutre encastrée en A et chargée en B, de section b.h.
Le sens positif des moments des forces est le sens trigonométrique.
L'axe y est orienté vers le haut.
[pic]
1 ) Etude statique : déterminons les actions en A:
Bilan des forces extérieures :
XA = 0
YA - P = 0
Bilan des moments extérieurs :
MA - PL = 0
Donc, XA = 0
YA = P
MA = PL
2 ) Variation du moment fléchissant le long de la poutre :
Mf(x) = - MA + x . YA
= - PL + P . x
Mf(x) = P (x - L)
3 ) Variation de la contrainte normale longitudinale le long de la poutre :
?L (x) = g(x)
= Mf(x).? / IGZ
avec IGZ = bh3 / 12
et ? = h / 2 (distance la plus éloignée de l'axe neutre)
Donc, ?L(X) = 6P(x - L) / bh2
D'où le diagramme:
IV ETUDE EXPERIMENTALE:
1) Manipulations et mesures :
La poutre est placée dans le banc de flexion et bloquée correctement.
On relie alors le pont de mesure au boîtier additionnel.
On raccorde ensuite les fils des jauges
Enfin, on règle l'état initial des jauges.
Remarque : les facteurs de jauge sont identiques On place alors une charge d'intensité P=120 N (1200 g) à l'aide du crochet
de chargement. On obtient alors le tableau suivant:
|Mesure 1 |984 |128 |-136 |
|Mesure 2 |988 |130 |-132 |
|Mesure 3 |986 |128 |-131 |
|? moyen |986 |128,7 |-133 |
| |?a |?b |?c |
2) Dépouillement des mesures : - 2.1 Déterminons les déformations principales et les directions
principales par la méthode de Mohr :
Pour tracer le cercle de Mohr, il suffit de prendre deux points sur
un même diamètre (A et B); comme le centre du cercle est sur l'axe ?, A et
B ont la même ordonnée.
Considérons que A est le point d'abscisse ?a, il nous reste alors à
trouver ?22 et ?12.
Pour trouver ces deux valeurs, il suffit de changer de repère et
d'appliquer à ?b et ?c la formule:
?( = (?11+ ?22)/2 + (?11 - ?22).cos 2( + ?12.sin2(
avec ?b = ?120 et ?c = ?240
On a ?b + ?c = ?a + ?22 - (?a - ?22)/2 = ?a/2 + 3/2. ?22
?b - ?c = (3 . ?12
Donc, ?22 = 2/3 . (?b + ?c - ?a/2)
= 2/3 . (128,7-133-986/2)
= - 331,53
?12 = (?c - ?b) / (3
= (-133 - 128,7) / (3
= -151,09
A partir de ce résultat, il est maintenant possible de construire
le cercle de Mohr.
?1 = 1015 (m/m
?2 = -315 (m/m
tan 2(= 0,23
( =6.4°
- 2.2 Calculs :
On a d'après les questions précédentes :
tan2? ' (3 . ( ?c - ?b) / (2?a - ?b - ?c)
d'où ? = 6,46°
cos 2( = 0.975
Or d = (?a + ?b + ?c)/3
= (986 + 128,7 - 133)/3
d = 327,23 µm/m
r = (?a - d) / cos 2(
= (986 - 327,23) / 0,975
r = 675,66 µm/m
?1 = d + r = 1002,89 µm/m
?2 = d - r = - 348,43 µm/m
3) Contraintes : Nous voulons déterminer les contraintes principales agissant selon
les directions principales.
Pour se faire, déterminons le coefficient de Poisson :
? =( ?2 / ?1 (
= 348,43 / 1002,89
? = 0,347 (0.31 par le cercle de Mohr)
Déterminons les contraintes principales:
?1 = E / (1 - ?2) . (?1 + ?.?2)
= 71000 / (1-0,3472) * (1002,89 + 0,347 . (-348,43)).10-6
?1 = 71,19 N/mm2
?2 = E / (1 - ?2) . (?2 + ?.?1)
= 71000 /. (1-0,3472) . (-348,43 + 0,347.1002,89).10-6
?2 = - 0,034 N/mm2 Contrainte longitudinale théorique : En C , pour x = 72 mm, on a
?L(C) = 6P(x - L) /bh2
= 6.1,2.9,81.(72-272) / (25 . 32)
?L(C) = -62,78 N/mm2 V CONCLUSION Voici le tableau récapitulatif des résultats:
|P = 117.72 N ?a = 986 µm/m ?b = 128.7 µm/m ?c = -133 |
|µm/m |
|Dépouillement de la rosette |Méthode graphique de Mohr et loi de|
| |Hooke d'un problème plan |
|?1 = 1002.89 µm/m |e1 = 1015 µm/m |
|?2 = -348.43 µm/m |e2 = -315 µm/m |
|?1 = 71.19 N/mm² |s1 = 72.05 N/mm² |
|?2 = -0.034 N/mm² |s2 = 0.027 N/mm² |
|( = 6.46° |( ' 6.4° |
|( = 0.347 |( ' 0.31 |
On remarque que les résultats sont sensiblement identiques.
Cependant, la méthode par dépouillement de la rosette est plus précise, car
il subsiste toujours quelques imprécisions lorsque l'on trace le cercle de
Mohr. Ce TP nous a permis de mettre en relation déformation longitudinale
et déformation latérale (par le coefficient de Poisson) et nous a donné les
méthodes pour pouvoir déterminer les directions principales d'un solide
soumis à des efforts extérieurs. 2éme ESSAI
CONCENTRATION DES CONTRAINTES
Nous allons démontrer l'existence de concentrations de
contraintes et de déformations au voisinage d'un trou sur une poutre
fléchie, et obtenir une valeur approximative du facteur de concentration Kt
en domaine élastique.
[pic] I Etude théorique du problème Toute présence de discontinuité géométrique de la forme d'une
structure mécanique chargée provoque généralement une augmentation de la
contrainte par rapport à ce qu 'elle serait en l'absence de discontinuité. La contrainte uniaxiale est donnée par la théorie des poutre ?? = (Mh/2)/I = (6PL)/(bh²) Dans la section B, la contrainte normale doit être plus grande puisque la
section de la poutre est diminuée de celle du t