Exercices avec corrigés sur les fonctions dérivées - Maths Costebelle

Exercices supplémentaires à propos de la notion de nombre dérivé liée au
coefficient directeur de la tangente à la courbe Tle ES


Exercice n°1 :
Soit la fonction f définie sur l'intervalle [-9, 1] dont la courbe
représentative Cf est donnée par le graphique ci- dessous.
[pic]
Exercice n°2 :


Le plan est muni d'un repère orthonormal [pic].




Soit f la fonction définie sur [-2 ; 4 ] par
f(x) = - x2 + 2x + 1
et Cf la courbe représentative de f : voir figure ci-contre.










Le tableau suivant donne les nombre dérivés de f pour certaines valeurs de
la variable.
|a |-2|-1|0 |1 |2 |3 |4 |
|f'(a) |6 |4 |2 |0 |-2 |-4|-6 |

1°) Construire sur la figure ci-contre, les tangentes à la courbe Cf aux
points A, B, C d'abscisses respectives -1, 1, et 2.
Faire apparaître sur le graphique la méthode utilisée, justifiez votre
réponse.

2°) Déterminer une équation de la tangente TA à la courbe Cf au point
d'abscisse -1.

3°) Déterminer une équation de la tangente TC à la courbe Cf au point
d'abscisse 2.


Exercice n° 3 :

Sur le graphique ci-dessous la courbe Cf représente dans un repère
orthogonal (unités graphiques : 1 cm sur l'axe des abscisses et 0,5 cm sur
l'axe des ordonnées) une fonction f définie sur un intervalle [-3, 2] ; on
précise qu'aux points d'abscisses respectives -1 et 1 la tangente à la
courbe C est parallèle à l'axe des abscisses.








































5°) A l'aide de la calculatrice et de l'expression de f(x) obtenue au 4°),
déterminer une valeur approchée à 10-2 près de la solution de l'équation
f(x) = 0








Exercice n°4 :
Le plan est rapporté à un repère orthonormal.
La courbe (C1) tracée ci-dessous est la courbe représentative d'une
fonction f définie sur l'intervalle [-1 ; +([.
On admettra que :
( f (-1) ( 0,26
( La tangente à (C1) au point de coordonnées (0 ; -1) est parallèle à l'axe
des abscisses.
[pic]

1°) En utilisant la courbe (C1) :
a) Déterminer f(0) et f '(0)
b) Dresser le tableau de variation de f sur [-1 ; +([.
Correction de l'exercice n°1 :

1°) L'ordonnée du point de la courbe d'abscisse -2 est 4 donc : f(-2) =4
(voir le point C)

2°) f'(-8) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe Cf au
point A d'abscisse -8, c'est à dire de la droite T
( voir graphique). Par lecture graphique, on obtient : f'(-8)= -9.
f'(-4) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe Cf au point
E d'abscisse -4, c'est à dire de la droite T'. Par lecture graphique, on
obtient f'(-4) = 3.
3°) D'après le 1°) -9 est le coefficient directeur de la tangente T
donc l'équation réduite de T est y = -9x + b où b est un réel à
déterminer.
A (-8, 4 ) est un point de T donc
4 = 72 + b
b = - 68.

Conclusion : l'équation réduite de T est : y = -9x - 68.

La tangente TB est parallèle à l'axe des abscisses donc son coefficient
directeur est nul.
B(-6,-4) est sur TB

Conclusion : l'équation réduite de TB est y = -4.

4°) a) On cherche les abscisses des points de la courbe ayant une tangente
parallèle à l'axe des abscisses :
f '(x) = 0 pour x = -6 ou x = -2
b) On cherche les intervalles sur lesquels la fonction est strictement
croissante :
f '(x) > 0 pour x appartenant à ]-6, -2 [.



Correction de l'exercice n°2 :
1°) f'(-1) = 4 donc le coefficient directeur de la tangente TA à la courbe
au point d'abscisse -1, c'est à dire au point A ( -1, -2) est 4 : on trace
la droite passant par A et de coefficient directeur 4.

f'(1) = 0 donc le coefficient directeur de la tangente TB à la courbe au
point d'abscisse 1, c'est à dire au point B ( 1, -2) est 0 : on trace la
droite passant par B (1 , -2 ) et parallèle à l'axe des abscisses.

f'(2) = -2 donc -2 est le coefficient directeur de la tangente TC à la
courbe au point C ( 2, 1).

2°) d'après le 1°)
4 est le coefficient directeur de la tangente TA à la courbe au point
d'abscisse -1 c'est à dire au point A ( -1, -2)
donc l'équation réduite de TA est y = 4x + b où b est un réel à
déterminer.
A (-1, -2 ) est un point de TA donc
-2 = -4 + b
b = 2.
Conclusion : l'équation réduite de TA est : y = 4x +2.

3°) d'après le 1°) -2 est le coefficient directeur de la tangente TC à la
courbe au point d'abscisse 2 c'est à dire au point C ( 2, 1)
donc l'équation réduite de TC est y = -2x + b où b est un réel à
déterminer.
C (2, 1 ) est sur TC
1= -4 + b
b = 5.
Conclusion : l'équation réduite de TC est : y = -2x +5.

Correction de l'exercice n°3 :

1°) a) f(0) =-7, f(1) =-5 et f(-1) = -9

b) f ' (1 ) = 0 car la tangente est parallèle à l'axe des abscisses.

2°)
f '(0) est positif car la fonction est strictement croissante sur
l'intervalle ]-1, 1 [ et 0 appartient à cet intervalle.


|Valeurs de x |-3 -1 |
| |1 2 |
|Signe de | - 0 |
|f'(x) |+ 0 - |
|Variation de |11 |
|f |-5 |
| | |
| |-9 |
| |-9 |

3°) a) sur l'intervalle[pic]la fonction [pic]est continue [pic]et [pic]donc
d'après le théorème des valeurs intermédiaires l'équation f(x) = 0 possède
au moins une solution sur l'intervalle[pic].
o sur[pic]les valeur prise par la fonction sont strictement négative
donc l'équation f(x) = 0 n'a pas de solution sur cet intervalle.
o Sur[pic]la fonction est strictement décroissante [pic]donc
l'équation f(x)=0 possède une solution unique sur cet intervalle .
o
b) f(x) = -5 pour x= -2 et x = 1
(on a cherché les abscisses des points de la courbe situés sur la droite
d'équation y = -5).

4°) f(x) = ax3 + cx + d

[pic]


Conclusion : f(x) = -x3 + 3x -7.

5°) f(x) = -x3 + 3x -7
D'après le graphique la solution de f(x) = 0 est proche de -2,5.
[pic] et [pic](penser à tabuler avec la calculatrice)
Donc la solution de f(x) = 0 est comprise entre -2,43 et -2,42.













Correction de l'exercice n°4 :


1 / a) Par lecture graphique, le point de la courbe (C1) d'abscisse 0 a
pour ordonnée (- 1) donc : f (0) = - 1.

Le nombre f '(0) est égal par définition au coefficient directeur de la
tangente à la courbe (C1) au point d'abscisse x = 0.

D'après les hypothèses de l'énoncé, la tangente à la courbe au point
d'abscisse 0 est parallèle à l'axe des abscisses. Donc :
f '(0) = 0.

b) Tableau de variation:
|x |- 1 |
| |0 + ( |
| |0,26 |
|f | |
| | |
| |- 1 |



2 / (On rappelle que f est croissante si f '(x) est positive et f
décroissante si f '(x) négative)
Tableau de signe de f '(x)

|x |- 1 |
| |0 + ( |
|Signe de f'| - |
|(x) |0 + |


Déterminons ci-dessous le tableau de signe de chacune des trois fonctions
f1 (Fig.1), f2 (Fig.2) et f3 (Fig.3) proposées :

|x |- 1 0 | |x |- 1 ( 0,3 | |x |- 1 0 |
| |+ ( | | |+ ( | | |+ ( |
|f1(x) | + 0 | |f2(x) | - 0 | |f3(x) | - 0|
| |- | | |+ | | |+ |

(On rappelle qu'une fonction est positive sur l'intervalle I si sa courbe
sur I est « au-dessus » de l'axe des abscisses, et négative sur I si sa
courbe est « en dessous »).

Conclusion :
La courbe représentative (C2) de la fonction f ' est celle de la
fonction baptisée f3, donc celle de la figure 3.
-----------------------

1°) Lire sur le graphique f(-2).
2°) Lire sur le graphique f '(-8), f '(-4). Justifier votre réponse.
3°) Déterminer l'équation réduite de T la tangente à Cf en A,
puis l'équation réduite de TB la tangente à Cf en B.
4°) Résoudre graphiquement dans [-9, 1 ] :
a) f '(x) = 0
b) f '(x) > 0.
Justifier votre réponse.


1°)
a) Par lecture graphique, déterminer les valeurs de f(0), f(1) et de f(-1).

b) On suppose que f possède sur l'intervalle [-3, 2 ] une fonction dérivée
que l'on désigne par f'.
Déterminer la valeur de f '(1) et déterminer le signe de
f '(0) ( justifier vos réponses).

2°) Dresser le tableau de variation de la fonction f.

3°) Déterminer graphiquement (en justifiant).
a) Le nombre de solutions, dans l'intervalle [-3, 2 ], de l'équation f(x) =
0.

b) Les valeurs des solutions, dans l'intervalle [-3 , 2], de l'équation
f(x) = -5.


4°) On admet que pour tout x de l'intervalle [-3 , 2] on a :
f(x) = ax3 + cx + d où a, c et d sont des nombres réels et
f'(x) = 3ax2 + c.
En utilisant les résultats du 1°) déterminer les valeurs a, c et d.



2°) On se propose d'étudier la fonction dérivée f' de la fonction f, sur
l'intervalle [-1 ; +([.
L'un des tracés ci-dessous est celui de la courbe représentative (C2) de la
fonction f'. Déterminer lequel, en justifiant la réponse.
[pic]