Collège MELKART - Exercices corriges

Collège MELKART
Louaïzé
Été 2012
Mathématiques 1ère S
Vers la Terminale S Il est vivement conseillé aux élèves des classes de 1èreS de profiter de
leurs temps pendant les vacances, pour renforcer leurs acquisitions et
consolider leurs compétences. Les exercices qui suivent constituent une révision globale du programme de
mathématiques et préparent bien les élèves à entamer dans de bonnes
conditions la classe de Terminale S, toutes spécialités confondues. Ils
sont divisés en deux parties : analyse et algèbre-géométrie. Bonnes vacances à tous !
Première partie : Analyse 1 - On donne le polynôme f(x) = ax3 + bx2 + cx + d.
Montrer qu'il est possible d'écrire f(x) sous la forme : f(x) = (
x(x+1)(x+2) + ( x(x+1) + ( x + (.
Appliquer cette transformation au polynôme : f(x) = x3 + x2 + x + 1.
2 - Résoudre dans R3 le système suivant : [pic] 3 - Étudier les fonctions f suivantes et construire leurs courbes
représentatives dans un repère convenable :
a) f(x) = x3 - 3x + 2 ; b ) f(x) = (x - 2)²(x + 1)
; c) f(x) = - x4 + 5x² - 4 ;
d) f (x) = [pic] ; e) f(x) = [pic] ; f) f (x) =
[pic] ;
g) f(x) = [pic] ; h) f(x) = x + [pic] ; i)
f(x) = x - 2 -[pic]. 4- Soit f une fonction polynôme de degré n.
a) Quels sont les degrés des fonctions f ', f '' et f ' x f '' ?
b) Quel doit être le degré de f si elle vérifie la relation f = f ' x
f '' ?
Déterminer les fonctions polynômes f vérifiant cette relation. 5 - a) Étudier la fonction f définie par f(x) = [pic] . Construire sa
courbe (C).
b) Résoudre graphiquement l'équation : (2 - m)x² + (m + 1)x -
(m + 1) = 0, où m est un paramètre réel. 6- a) Etudier la fonction f définie sur R par f(x) = 2sin3x - 3sinx.
Tracer sa courbe.
b) Etudier la fonction f définie sur R par f(x) = cosx - cos²x.
Tracer sa courbe.
c) Etudier la fonction f définie par f(x) =[pic]. Tracer sa courbe. 7 - Le plan est rapporté à un repère orthonormal.
a) Déterminer les coefficients a, b et c pour que la courbe (C)
d'équation y = ax²+bx+c passe par les points
A(-1;10), B(2;-2) et C(4;0). Construire (C) et ses tangentes aux
points A, B et C.
b) On considère la famille de droites (Dm) d'équation x - y + m = 0, où m
est un paramètre réel variable.
Discuter suivant les valeurs de m le nombre de points d'intersection
de (C) et de la droite (Dm).
Lorsqu'il existe deux points d'intersection P1 et P2, exprimer, en
fonction de m, les coordonnées du milieu K de [P1P2]. En déduire
l'ensemble des points K lorsque m varie.
c) Soit le point H(1,-1). Construire cet ensemble sur le même graphique.
d) Ecrire une équation de la droite (dp) passant par H et de coefficient
directeur p.
Etudier suivant p l'ensemble (C) ( (dp). Lorsque (dp) coupe (C) en
deux points M1 et M2, exprimer en fonction de p les coordonnées du
milieu J de [M1M2].
En déduire l'ensemble des points J lorsque p varie.
8 - a) Étudier la fonction f définie par f(x) = 4x3 - 3x - 1 ; construire
sa courbe (C) dans un repère orthonormal
b) Écrire une équation de la droite (D) passant par le point A(1,0)
et de pente m. Étudier (C) ( (D). 9- Soit Ha l'hyperbole d'équation : y =[pic], et le point M0 (x0 ;y0) de
Ha.
a) Donner une équation de la tangente D à Ha en M0.
b) D coupe (Ox) et (Oy) en H et K respectivement. Montrer que M0 est
le milieu de [HK].
c) Soit P((, () un point. Ecrire que la tangente D en M0 à Ha passe
par P.
d) Déterminer la relation que doivent vérifier ( et ( pour que D passe
par P.
Peut-on mener deux tangentes orthogonales à Ha ? 10- a) Résoudre dans R l'équation 8x4 - 8x² + 1 = 0.
b) Calculer cos 4z en fonction de cos z.
c) Résoudre l'équation cos 4z = 0. En déduire [pic]
d) Étudier la fonction f définie par f(x) = 8x4 - 8x² + 1.
Construire sa courbe représentative.
e) On pose cos 4z = m, où m [pic] [-1, 1]. Indiquer graphiquement les
valeurs de m auxquelles il correspond
deux ou trois valeurs distinctes de cos z. Quelles sont
ces valeurs de cos z ? 11 - a) Soit f la fonction homographique définie par f(x) = [pic] .
Déterminer les réels a,b, c et d de telle sorte
que la courbe (H) de f passe par les points A(-4,0) et B(0,2) et
qu'elle admette la droite d'équation x= -2
comme asymptote.
b) Étudier la fonction obtenue ; construire (H) et les tangentes aux
points d'abscisses 0 et -4.
c) On appelle (Dm) la droite d'équation 3x + 2y + m = 0. Étudier,
suivant m, l'ensemble (H) ( (Dm).
Lorsqu'il y a deux points d'intersection P et Q, construire
l'ensemble des points M milieux de [PQ]. 12 - a) Déterminer les réels a, b, c et d de telle sorte que la courbe (C)
d'équation y = [pic] passe par les
points A(1,2), B(0,3) et C(-1,-2). Étudier la fonction obtenue et
construire (C).
b) Soit la fonction fm définie par : fm (x) = [pic] .
Etudier les variations de fm suivant les valeurs du réel m.
c) Construire les droites faisant partie de la famille ([pic]) des
courbes (Cm) représentatives des fonctions fm.
d) Déterminer et construire l'ensemble des centres de symétrie Sm des
courbes (Cm).
e) On considère la famille de droites Dp d'équation : 2x + 5y - 5p =
0, où p est un paramètre réel.
Etudier l'ensemble (C) ( Dp. Construire l'ensemble des points R
milieux des segments [PQ] où P et Q
sont les points d'intersection éventuels.
13- Soit fm la fonction définie par fm(x) = [pic] ; (Cm) sa courbe.
a) Démontrer que les courbes (Cm), sauf une exception que l'on
précisera, passent par trois points fixes dont on déterminera les
coordonnées.
b) Démontrer que les courbes (Cm) ont une asymptote commune[pic].
Déterminer la fonction fm et construire sa courbe correspondante (Cm)
lorsque l'abscisse du point d'intersection de (Cm) et de [pic] est
[pic] .
c) Soit (C0) la courbe correspondante à m=0. Discuter le nombre des
points d'intersection de (C0) et de la droite (D) d'équation y=tx.
d) Ecrire les équations des tangentes issues de O à (C0). Calculer les
coordonnées des points de contact. Etudier la position de (C0) par
rapport à sa tangente en O.
e) Pour ( convenablement choisi, la droite d'équation y= ( coupe (C0) en
deux points L et L' dont les projections orthogonales sur l'axe des
abscisses sont N et N'.
f) Écrire une équation du cercle [pic] de diamètre [NN'] .[pic] 14- Soit fa la fonction réelle définie par fa(x) = [pic], avec a((0 ;
((.On note Ca la courbe de fa.
a) On suppose a = [pic] . Etudier la fonction correspondante et tracer
sa courbe.
b) La courbe précédente coupe l'axe des ordonnées en un point B. On
mène par ce point une droite d de coefficient directeur m. On
désigne par P et Q les points d'intersection éventuels de d et de
la courbe. Construire l'ensemble des points I milieux des segments
[PQ] lorsque m varie.
c) Montrer que pour tout a et tout x : -1 ( fa(x) ( 1.
d) Montrer que toutes les courbes Ca passent par deux points fixes que
l'on déterminera. 15- Pour chacune des suites suivantes, étudier la nature, le sens de
variation et la convergence ; préciser si elle est, ou non, majorée ou
minorée :
( un = n² - n ( un = [pic] ( un = - 4 x [pic] ( un = 1 -
[pic]n ( un = sin (n[pic]) - 3 ( un = [pic]
16 - Soit la suite (un) définie par u1 = [pic] et un+1 = [pic] un.
Calculer u2, u3, u4, u5, u6 .
On pose vn = [pic]. Nature de (vn) ? Exprimer vn puis un en fonction
de n.
17 - Soit la suite (un) définie par : u0 = -3 et un+1 = [pic].
Montrer que la suite (un) est croissante et majorée par 1. En
déduire[pic].
18- Soit la suite (un) définie par u0= 0 et pour tout naturel n, un+1 =
[pic]un + 2.
a) Calculer u1, u2, u3, u4 et u5.
b) A l'aide des droites d'équations y =[pic]x + 2 et y = x, représenter
graphiquement les premiers termes de la suite (un). Émettre une
conjecture concernant la convergence de la suite (un).
c) On considère la suite auxiliaire (vn) définie pour tout naturel n
par : vn = 3 - un. Démontrer que (vn) est une suite géométrique.
Calculer sa raison. Exprimer vn puis un en fonction de n. Calculer la
limite de la suite (un) et comparer avec la conjecture de la question
c). 19- On donne une suite (un) définie pour tout naturel non nul n par : un =
[pic].
a) Démontrer que la suite (un) est monotone.
b) Déterminer deux nombres a et b tels que : un = [pic].
c) En déduire S99 = [pic].
d) La suite (Sn) est définie pour tout n > 0, par : Sn = u1 + u2 + u3 +
... + un.
Calculer Sn en fonction de n. En déduire la limite de la suite (Sn). 20- On considère la suite (un) définie par u0=0 et pour tout n, un+1 =
[pic].
a) Calculer les cinq premiers termes de la suite. Illustrer
graphiquement. Conjecturer.
b) On définit la suite (vn) par : vn = [pic] . Quelle est la nature
de la suite (vn) ?
En déduire une expression de vn puis de un. Etudier alors la
convergence de la suite (un). 21- On considère la suite (un) définie par u0=0 et un+1= [pic] .
a) Calculer les cinq premiers termes.
b) Démontrer que pour tout n>0, 0 < un< 5. Quelle peut être la
limite éventuelle L de la suite (un) ?
d) On considère la suite (vn) définie par vn= L - un. Form