Bac maths S 2008 - Pondichéry _Inde - Descartes et les ...

Bac S 2008 - Pondichéry - Inde Calcul approché d'intégrale - Géométrie plane et complexes - restitution
organisée de connaissances - Géométrie dans l'espace : tétraèdre
orthocentrique - Suites, fonction exponentielle et équations
différentielles. Annales bac S non corrigées : http://debart.pagesperso-
orange.fr/ts/terminale.html
Document Word : http://www.debart.fr/doc/bac_2008/bac_s_inde_2008.doc BACCALAUREAT GENERAL Session 2008
Épreuve : MATHEMATIQUES
Série : S Durée : 4 heures Coef. : 7 ou 9
OBLIGATOIRE et SPECIALITE
Avant de composer, le candidat s'assurera que le sujet comporte bien 6
pages numérotées de 1 à 6.
La page annexe n° 6 est à rendre avec la copie. Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. Le candidat doit traiter tous les exercices. Le candidat est invité à faire
figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non
fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision
des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation
des copies.
EXERCICE 1 (4 points)
Commun à tous les candidats 1. Soit f la fonction définie sur [1 ; +([ par f (x) = [pic]et soit H la
fonction définie sur [1 ; +([ par H(x) =[pic].
a. Justifier que f et H sont bien définies sur [1 ; +([
b. Quelle relation existe-t-il entre H et f ?
c. Soit C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal
(O, [pic], [pic]) du plan. Interpréter en termes d'aire le nombre H(3). 2. On se propose, dans cette question, de donner un encadrement du
nombre H(3). a. Montrer que pour tout réel x > 0, [pic] = x ( [pic].
b. En déduire que [pic]=3[pic]-[pic]-[pic].
c. Montrer que si 1 ( x ( 3, alors [pic] ( ln(1- e-x) ( [pic]
d. En déduire un encadrement de [pic] puis de [pic].
EXERCICE 2 (5 points)
Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité Cet exercice contient une restitution organisée de connaissances.
Partie A On suppose connus les résultats suivants :
a. Dans le plan complexe, on donne par leurs affixes zA, zB et zC trois
points A, B et C.
Alors [pic] = [pic] et [pic] = ([pic],[pic]) (2() b. Soit z un nombre complexe et soit ( un réel :
z = ei( si et seulement si |z| = 1 et arg(z) = ( + 2k(, où k est un entier
relatif. Démonstration de cours : démontrer que la rotation r d'angle ( et de centre
( d'affixe ( est la transformation du plan qui à tout point M d'affixe z
associe le point M' d'affixe z' tel que
z' - ( = ei((z - ().
Partie B Dans un repère orthonorrnal direct du plan complexe (O ; [pic], [pic])
d'unité graphique 2 cm, on considère les points A, B, C et D d'affixes
respectives zA = -[pic]- i, zB = 1 - i[pic], zC =[pic] + i et zD = -1 +
i[pic]. 1. a. Donner le module et un argument pour, chacun des quatre nombres
complexes zA, zB, zC et zD.
b. Comment construire à la règle et au compas les points A, B, C et D dans
le repère
(O ; [pic], [pic]) ?
c. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?
2. On considère la rotation r de centre B et d'angle -[pic]. Soient E et F
les points du plan définis par :
E = r(A) et F = r(C).
a. Comment construire à la règle et au compas les points F et E dans le
repère précédent ?
b. Donner l'écriture complexe de r.
c. Déterminer l'affixe du point E.
EXERCICE 2 (5 points) Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité Partie A
On suppose connu le résultat suivant :
Une application f du plan muni d'un repère orthonormal direct dans lui-même
est une similitude directe si et seulement si f admet une écriture complexe
de la forme z' = az + b, où a(C* et b(C. Démonstration de cours : On se place dans le plan complexe. Démontrer que
si A, B, A' et B' sont quatre points tels que A est distinct de B et A' est
distinct de B', alors il existe une unique similitude directe transformant
A en A' et B en B'.
Partie B Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct du (O ; [pic],
[pic]), on considère les points A, B, C et D d'affixes respectives zA =
-[pic]- i, zB = 1 - i[pic], zC =[pic] + i et zD = -1 + i[pic]. 1. a. Donner le module et un argument pour, chacun des quatre nombres
complexes zA, zB, zC et zD.
b. Construire à la règle et au compas les points A, B, C et D (on
prendra pour unité graphique 2 cm).
c. Déterminer le milieu du segment [AC], celui du segment [BD]. Calculer
le quotient [pic]. En déduire la nature du quadrilatère ABCD.
2. On considère la similitude directe g dont l'écriture complexe est z'
= [pic]z + 2.
a. Déterminer les éléments caractéristiques de g.
b. Construire à la règle et au compas les images respectives E, F et J
par g des points A, C et O.
c. Que constate-t-on concernant ces points E, F et J ? Le démontrer.
EXERCICE 3 (4 points)
Commun à tous les candidats On considère un tétraèdre ABCD.
On note I, J, K, L, M, N les milieux respectifs des arêtes [AB], [CD],
[BC], [AD], [AC] et [BD].
On désigne par G l'isobarycentre des points A, B, C et D. 1. Montrer que les droites (IJ), (KL) et (MN ) sont concourantes en G. Dans la suite de l'exercice, on suppose que AB = CD, BC = AD et AC = BD.
(On dit que le tétraèdre ABCD est équifacial, car ses faces sont
isométriques).
2. a. Quelle est la nature du quadrilatère IKJL ? Préciser également la
nature des quadrilatères IMJN et KNLM.
b. En déduire que (IJ) et (KL ) sont orthogonales. On admettra que, de
même, les droites (IJ) et (MN) sont orthogonales et les droites (KL)
et (MN) sont orthogonales.
3. a. Montrer que la droite (IJ) est orthogonale au plan (MKN).
b. Quelle est la valeur du produit scalaire [pic].[pic]? En déduire
que (IJ) est orthogonale à la droite (AB). Montrer de même que (IJ)
est orthogonale à la droite (CD).
c. Montrer que G appartient aux plans médiateurs de [AB] et [CD].
d. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète,
ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans
l'évaluation.
Comment démontrerait-on que G est le centre de la sphère circonscrite
au tétraèdre ABCD ?
EXERCICE 4 (7 points)
Commun à tous les candidats On cherche à modéliser de deux façons différentes l'évolution du nombre,
exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran
plat, en fonction de l'année. Les parties A et B sont indépendantes Partie A : un modèle discret
Soit un le nombre, exprimé en millions, de foyers possédant un téléviseur à
écran plat l'année n.
On pose n = 0 en 2005, u0 = 1 et, pour tout n > 0, un+1 = [pic]un (20 -
un).
1. Soit f la fonction définie sur [0 ; 20] par f(x) = [pic]x (20 - x). a. Étudier les variations de f sur [0 ; 20].
b. En déduire que pour tout x([0 ; 10], f(x)( [0 ; 10].
c. On donne en annexe la courbe représentative C de la fonction f dans
un repère orthonormal (O, [pic], [pic]) du plan. Représenter, sur
l'axe des abscisses, à l'aide de ce graphique, les cinq premiers termes
de la suite (un)n(0.
Montrer par récurrence que pour tout n(N, 0 ( un ( un+1 ( 10.
Montrer que la suite (un)n(0 est convergente et déterminer sa limite. Partie B : un modèle continu
Soit g(x) le nombre, exprimé en millions, de tels foyers l'année x.
On pose x = 0 en 2005, g(0) = 1 et g est une solution, qui ne s'annule pas
sur [0 ; +([, de l'équation différentielle
(E) : y' = [pic]y(10 - y).
1. On considère une fonction y qui ne s'annule pas sur [0 ; +([ et on
pose z =[pic]. a. Montrer que y est solution de (E) si et seulement si z est solution
de l'équation différentielle :
(E1) : z' = - [pic]z + [pic].
b. Résoudre l'équation (E1) et en déduire les solutions de l'équation
(E).
2. Montrer que g est définie sur [0 ; +([ par g(x) = [pic].
3. Étudier les variations de g sur [0 ; +([.
4. Calculer la limite de g en +( et interpréter le résultat.
5. En quelle année le nombre de foyers possédant un tel équipement
dépassera-t-il 5 millions ?
Annexe
A rendre avec la copie [pic]
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[pic]