DM pour le jeudi 09 septembre - Lycée Henri BECQUEREL

TS1-TS2 Correction du DM n°5 de mathématiques Exercice 1 : Soit la fonction f définie sur par f(x) = cos (2x) - 2 cos x
+ 1. 1) Pour tout x[pic], f(x + 2?) = cos(2(x + 2?)) - 2cos(x + 2?) + 1 =
cos(2x + 2×2?) - 2cos(x + 2?) + 1
= cos (2x) - 2 cos x + 1 = f(x)
car la fonction cosinus est 2?-périodique.
Donc la fonction f est 2?-périodique : on peut donc l'étudier sur un
intervalle de longueur 2?, par exemple sur [- ? ; ?].
De plus, pour tout x[pic], f(-x) = cos (2(-x)) - 2 cos (-x) + 1 = cos
(2x) - 2 cos x + 1 = f(x) car la fonction cosinus est paire.
Donc la fonction f est paire : on peut donc l'étudier sur le demi-
intervalle [0 ; ? ].
A partir de la courbe représentative de f tracée sur [0 ; ? ], on
complète sur [- ? ; 0] par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées,
puis on complète la courbe tracée sur [- ? ; ?] à l'infini par une
translation de vecteurs 2k?[pic], avec k[pic]Z.
2) La fonction f est construite à l'aide de fonctions cosinus et affines
dérivables sur , donc f est dérivable sur .
On utilise la dérivée de fonctions composées : (cos u)' = -u'.sin u
avec u(x) = 2x [pic] u'(x) = 2
Pour tout x[pic], f '(x) = -2 sin (2x) + 2 sin x = - 2(2 cos x.sin x) + 2
sin x = 2 sin x (-2cos x + 1) 3) Sur [0 ; ? ], sin x ? 0.
- 2cos x + 1 > 0 [pic]cos x < [pic][pic]cos x < cos [pic][pic]x > [pic] car
la fonction cos est décroissante sur [0 ; ?].
|x | 0 [pic] |
| |? |
|f '(x)| 0 - 0 |
| |+ 0 |
| | 0 |
|f |4 |
| | |
| |-[pic] |
4) f(x) = 0 [pic] cos (2x) - 2 cos x + 1 = 0 [pic](2cos² x - 1) - 2 cos x
+ 1 = 0 [pic] 2cos x. (cos x - 1) = 0
[pic] cos x = 0 ou cos x = 1 [pic] x = [pic] ou x = 0 dans [0 ; ? ] 5) La tangente à la courbe de f au point d'abscisse [pic] a pour équation
y = f '([pic]) (x - [pic]) + f([pic]).
Or, f([pic]) = cos (2.[pic]) - 2 cos [pic] + 1 = 0 et f '([pic]) =
2sin[pic] (-2cos [pic] + 1) = 2.
Ainsi, l'équation de la tangente est y = 2(x - [pic]) + 0 [pic] y = 2x -
?.
7) Soit g(x) = sin x.
a/ f '(x) ? 0 sur [[pic] ; ?], donc en particulier sur [[pic] ; ? ].
- g'(x) = - cos x ? 0 sur [[pic] ; ? ].
Ainsi, par somme, f '(x) - g'(x) ? 0 sur [[pic] ; ? ].
b/ Posons la fonction h définie sur par h(x) = f(x) - g(x). |x | [pic] |
| |? |
|h'(x) = f '(x) - | |
|g'(x) |+ |
| | |
|h = f - g |4 |
| | |
| | |
| |- 1 |
La fonction h est continue sur comme somme de fonctions dérivables donc
continues sur ;
en particulier, h est continue sur [[pic] ; ? ].
h([pic]) = - 1 et h(?) = 4 avec 0[pic] [ h([pic]) ; h(?)].
De plus, h est strictement croissante sur [[pic] ; ? ].
D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation
h(x) = 0, c'est-à-dire
f(x) - g(x) = 0 admet une unique solution x0 dans [[pic] ; ? ].
A l'aide de la calculatrice, on observe que f(1,92) < 0 et f(1,93) > 0.
Soit 0[pic] [f(1,92) ; f(1,93)]. Ainsi x0 [pic] [1,92 ; 1,93]. On peut
donner x0 [pic] 1,93. c/ f(x) - g(x) = 0 [pic] f(x) = g(x) L'équation de la question b/ donne
donc une valeur approchée de l'abscisse du point d'intersection sur
[[pic] ; ?] des courbes représentatives des fonctions f et g. [pic]
Exercice 2 : Soit [pic] > 0. On considère la fonction f définie sur par
f(x) = x 3 - 3[pic]² x + 2. f est une fonction polynôme dérivable sur .
Pour tout x[pic], f '(x) = 3x² - 3[pic]² [pic] f '(x) = 3(x - [pic])(x
+[pic] ).
f '(x) est un trinôme du signe de a = 3 (> 0) à l'extérieur des racines -
[pic] et [pic].
|x | 0 [pic] |
| |2[pic] |
|f '(x)| - 0 |
| |+ |
| | 2 |
|f |2 + 2[pic]3 |
| | |
| |2 - 2[pic]3 | On veut déterminer le nombre de solutions de l'équation f(x) = 0 dans [0 ;
2[pic]]. f est dérivable donc continue sur , en particulier f est continue sur [0 ;
2[pic]].
f est strictement décroissante sur [0 ; [pic]] et strictement croissante
sur [[pic] ; 2[pic]]. Etudions le signe de chacune des images du tableau de variations de f sur
[0 ; 2[pic]] :
2 - 2[pic]3 > 0 [pic][pic]3 < 1 [pic]0 < [pic] < 1 car [pic]
est un réel strictement positif.
et 2 + 2[pic]3 > 0 pour tout [pic] est strictement positif. Si 0 < [pic] < 1 : Alors f([pic]) < 0. Ainsi, 0[pic] [f([pic]) ; f(0)] et
0[pic] [f([pic]) ; f(2[pic])].
D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation
f(x) = 0 admet une unique
solution dans [0 ; [pic]] et une unique solution dans [[pic] ; 2[pic]],
soit exactement deux solutions dans [0 ; 2[pic]]. Si [pic] = 1 : Alors f([pic]) = 0. L'équation f(x) = 0 admet donc une
unique solution dans [0 ; 2[pic]], qui est[pic]. Si [pic]> 1 : Alors f([pic]) > 0. Ainsi, 0[pic][f([pic]) ; f(0)] et
0[pic][f([pic]) ; f(2[pic])].
L'équation f(x) = 0 n'admet donc aucune solution dans [0 ;
2[pic]].