Exercices d'arithmétique

1. DEUX DEMONSTRATIONS D'EUCLIDE * Lisez les textes ci-dessous extraits de l'?uvre d'Euclide.
* Enoncez les deux propositions dans le langage actuel.
* Comment les nombres sont-ils représentés par Euclide ?
* Dans le 1), que signifie l'expression « C mesure B » ?
* Dans le 2), que représente DE ? Que représente DF ?
* Essayez de réécrire les deux démonstrations dans le langage actuel. 1) Elements, livre VII, vers 300 av J-C.
Proposition 31 : Tout nombre composé est mesuré par quelque nombre premier. Que A soit un nombre composé. Je dis que A est mesuré par quelque nombre
premier.
Car, puisque A est composé, quelque nombre le mesurera. Qu'un nombre le
mesure et que ce soit B. Si B est premier, on aura ce qui est proposé. Mais
s'il est composé quelque nombre le mesurera. A B
C Qu'un nombre le mesure et que ce soit C. Comme C mesure B et que B mesure
A, C mesure aussi A. Si C est premier on aura ce qui est proposé. Mais s'il
est composé, quelque nombre le mesurera.
Si la recherche est continuée ainsi, on trouvera quelque nombre premier qui
mesurera le nombre qui est avant lui et (par conséquent) le nombre A. Car
si l'on ne trouvait pas un nombre premier, il y aurait une infinité de
nombres qui mesureraient A et qui seraient plus petits les uns que les
autres, ce qui est impossible dans les nombres. On trouvera donc quelque
nombre premier qui mesurera celui qui est avant lui, et qui mesurera A.
Donc tout nombre composé est mesuré par quelque nombre premier. CQFD. 2) Elements, livre IX, vers 300 av J-C
Proposition 20 : Les nombres premiers sont plus nombreux que toute
multitude proposée de nombres premiers. Soit A, B et C les nombres premiers que l'on aura proposés. Je dis que les
nombres premiers sont plus nombreux que A, B et C.
Car soit pris le plus petit nombre mesuré par A, B et C et que ce soit DE.
Ajoutons l'unité DF à DE. EF sera premier ou non. A B C E
D F Qu'il soit d'abord premier. On aura trouvé les nombres premiers A, B, C et
EF plus nombreux que les nombres A, B et C.
Mais que EF ne soit pas premier. Il est mesuré par quelque nombre premier.
Qu'il soit mesuré par le nombre premier G. Je dis que G n'est aucun des
nombres A, B, C. Car, si possible qu'il en soit un, A, B, C mesurent DE
donc G mesurera aussi DE. Mais il mesure encore EF. Donc G, qui est un
nombre, mesurera le reste, l'unité DF, ce qui est absurde.
Donc G n'est aucun des nombres A, B, C et il est premier par hypothèse. On
a donc trouvé les nombres premiers A, B, C, G, plus nombreux que la
multitude proposée. CQFD.
2. NOMBRES DE MERSENNE Pour tout entier naturel non nul n, on pose : M[pic] = 2[pic] - 1.
1) Parmi les entiers M[pic], M[pic], ..., M[pic] et M[pic], quels sont ceux
qui sont premiers ?
2) Que pensez-vous de l'affirmation suivante : «Quel que soit le nombre
premier n, M[pic] est un nombre premier » ? En terminale, avec les congruences ou le raisonnement par récurrence :
3) Que pensez-vous de l'affirmation suivante : « Quel que soit l'entier
naturel pair non nul n, M[pic]est divisible par 3 » ?
4) Que pensez-vous de l'affirmation suivante : « Il existe au moins un
entier naturel impair n tel que M[pic]soit divisible par3 » ?
En terminale, on peut aussi démontrer par l'absurde que : si 2[pic]-1 est
premier, alors p est premier. On utilise une série géométrique. Information :
Depuis le 17ème siècle, les nombres M[pic] sont appelés nombres de
Mersenne.
Marin Mersenne (1588-1648) a été un personnage central de la vie
intellectuelle du 17ème siècle. Formé chez les jésuites avant de prendre
l'habit de l'ordre des minimes, le père Mersenne a publié divers ouvrages
de sciences et de philosophie. En dépit de ses prises de position contre
« l'impiété des déistes, athées et libertins », il a défendu la théorie de
Galilée et s'est opposé vigoureusement à l'alchimie et à l'astrologie,
qu'il dénonçait comme pseudo-sciences. Mersenne a entretenu une
correspondance avec les plus grands savants de son époque : Descartes,
Pascal, Fermat, Roberval, Torricelli, Hobbes, Huygens... Outre ses travaux en physique, il s'est intéressé aux mathématiques et,
notamment, à la primalité des nombres de la forme 2[pic]-1. Mersenne a
énoncé à leur sujet une conjecture qui a fait couler beaucoup d'encre : Il
affirmait que M[pic] était premier pour n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67,
127 et 257, puis que M[pic]était composé pour tous les autres exposants
jusqu'à 257.
En 1732, le grand mathématicien Leonhard Euler, a pensé allonger la liste
en affirmant que M[pic] et M[pic] étaient premiers. Il se trompait... Mais
on a découvert par la suite cinq erreurs dans la liste de Mersenne :
M[pic], M[pic] et M[pic], absents de la liste, sont premiers. Par contre,
M[pic] et M[pic]ne le sont pas. Aujourd'hui, on ignore si parmi les nombres de Mersenne, une infinité sont
premiers. On ignore aussi si une infinité de nombres de Mersenne sont
composés. En février 2005, on connaissait 42 nombres de Mersenne premiers. Le plus
grand nombre premier connu était le nombre de Mersenne M[pic] , ce nombre
s'écrivant avec 7816230 chiffres ! Le projet GIMPS coordonne une course aux
nombres premiers record, grâce à un réseau d'ordinateurs. En mettant à
disposition votre modeste ordinateur personnel, vous pouvez contribuer aux
calculs. Pour connaître le plus grand nombre premier découvert à ce jour et
obtenir des informations complémentaires, consultez le site :
http://www.mersenne.org/prime.htm
3. LES NOMBRES PARFAITS ET LES AUTRES Pour tout entier naturel n supérieur à 1, on note S(n) la somme des
diviseurs de n, autres que n lui-même.
Par exemple : S(27) = 1+3+9 = 13. On dit que :
* n est parfait si S(n) = n
* n est déficient si S(n) < n
* n est abondant si S(n) > n.
Par exemple : 27 est déficient. 1) a) Trouvez un nombre parfait inférieur à 10.
b) Vérifiez que 28 est parfait. 2) Trouvez deux entiers abondants. 3) a) Montrez qu'il existe une infinité de nombres déficients impairs.
b) On suppose que n = 2p, avec p premier et p>2. Exprimez n - S(n) en
fonction de p.
c) Pouvez-vous énoncer une propriété analogue à celle du 3)a) ? 4) a) Quel est le plus petit entier abondant ?
b) Montrez que, quel que soit le nombre premier p, 12p est abondant.
c) Déduisez-en qu'il existe une infinité de nombres abondants pairs. 5) a) Vérifiez que 945 est abondant. (Information : C'est le plus petit
entier abondant impair)
b) Montrez que : Si p est premier et p>7, alors 945p est abondant.
c) Quelle propriété pouvez-vous énoncer ?
A propos des nombres parfaits
Vous venez de voir qu'il existe une infinité d'entiers dans chacune des
catégories suivantes : déficients impairs, déficients pairs, abondants
impairs et abondants pairs.
Concernant les nombres parfaits, le problème est beaucoup plus complexe.
En terminale L, on peut démontrer un résultat connu d'Euclide : Si 2[pic]
-1 est premier (voir l'information sur les nombres de Mersenne), alors
2[pic](2[pic] -1) est parfait.
La réciproque de ce théorème est vraie. Elle a été démontrée par Leonhard
Euler (1707-1783) : Si N est un nombre parfait pair, alors N =
2[pic](2[pic] -1), avec 2[pic] -1 premier.
Ainsi, on sait précisément qui sont les nombres parfaits pairs : Ce sont
les nombres de la forme 2[pic](2[pic] -1), avec 2[pic] -1 premier.
On connaît aujourd'hui 42 nombres de Mersenne premiers. On connaît donc 42
nombres parfaits pairs. Les plus petits sont : 2[pic](2[pic]-1) = 6,
2[pic](2[pic]-1) = 28, 2[pic](2[pic]-1) = 496 et 2[pic](2[pic]-1) = 8128
Par contre, on ne sait toujours pas s'il existe une infinité de nombres
parfaits pairs.
Pour ce qui est des nombres parfaits impairs, la situation est encore
pire : personne ne sait aujourd'hui s'il en existe !
4. UN POUR TOUS, TOUS POUR UN : LES REPUNITS Dans cet exercice, on considère les nombres entiers naturels qui ne
s'écrivent qu'avec des 1, parfois appelés repunits.
On note : u[pic] = 1 u[pic] = 11 u[pic] = 111 ......etc
Ainsi, pour n[pic] IN*, u[pic] = 11.......1 est l'entier qui s'écrit avec
n chiffres 1.
Parmi les « repunits » il y a des nombres premiers, comme 11. On va
s'intéresser à ceux qui possèdent la propriété suivante :
u[pic] est divisible par n.
1)
a) Montrer que u[pic]est divisible par 3 et que u[pic]est divisible par 9.
b) u[pic]est-il divisible par 7 ?
c) u[pic] est-il divisible par 12 ? (Remarque : certaines calculatrices
semblent dire que oui)
d) Existe-t-il des entiers n pairs tels que u[pic] soit divisible par n ?
(En terminale, on peut utiliser les congruences pour montrer que si n est
pair, alors u[pic] est divisible par 11) 2) Justifier que, quel que soit n appartenant à IN* : u[pic] = [pic].
(En terminale on peut utiliser la somme des termes d'une suite géométrique,
en première c'est du calcul numérique) 3) Soit n un entier naturel non nul quelconque.
a) Vérifier que : 10[pic]-1 = (10[pic]-1)(10[pic]+10[pic]+1).
b) En déduire que : u[pic] = u[pic] (10[pic]+10[pic]+1).
c) Montrer que 10[pic]+10[pic]+1 est divisible par 3.
(En première on utilise la numération en base dix et le critère de
divisibilité par 3, en terminale on peut utiliser les congruences)
d) En déduire que u[pic] est divisible par 3u[pic]. 4)
A l'aide du résultat du 3) et des exemples du 1)a), proposer au moins deux
autres valeurs de p (p>1) pour lesquelles u[pic]est divisible par p.
(Toutes les puissances de 3 possèdent la propriété. En première on se
contente d'en avoir l'intuition et en terminale on peut éventuellement le
montrer par récurrence.) A propos des repunits pr