Secondedega1 incorésoudre - Warmaths

Pré requis:
|Factoriser - développer |[pic] |
|Les I .R . |[pic] |


INFO :
|Index |Objectif |Objectifs |Tableau : [pic] |
|[pic] |précédent : |suivants: | |
| |1°) Résoudre. Le |1°) Cours |Vers la formation |
| |premier degré |résumé : |bac prof. |
| | |2°) Résolution | |
| | |d'exercices et de| |
| | |problèmes du | |
| | |second degré | |
| | | | |
| | |INFO : | |
| | |1°) Suite cours | |
| | |« théorique » | |
| | |2°) Fonction du | |
| | |second degré | |
| | |3°) forme | |
| | |canonique. | |
| | |4°)Système | |
| | |d'équations. | |


DOSSIER : Résolution des équations du « second degré à une
inconnue » incomplètes et complètes:
|1-|Définitions. | |
|2 |Equation incomplète du second degré | |
| | I) Résolution des équations incomplètes du second degré. | |
|3 |Equation complète du second degré. | |
| |A) équation complète à coefficients numériques. | |
| |INFORMATION : du réel à l'imaginaire | |
| |B) équation à coefficients littéraux , forme générale de | |
| |résolution. | |
| |C) Simplification de la formule dans le cas où le coefficient | |
| |« b » est pair, ou plus exactement de la forme b + 2b | |
|4)|Comment conduire la résolution d'une équation du 2e degré. | |
|5)|Exemples de résolution d'équations. | |
| |Equation du second degré dans le cas où l'inconnue est une | |
| |variable restreinte. | |
|6)|Equation bicarrée. ( INFO plus ) | |


Vocabulaire :
Attention le mot « racine » a deux significations :
1- La ou les « racine(s) » pour désigner « la ou les solutions » de
l'équation .
2- La racine qui désigne que l'on calcule la racine carrée du
discriminant.




|TEST |COURS |Devoir Contrôle [pic] |
|[pic] |[pic] | |


1- Définitions : Une équation à une inconnue est du second degré, quand
ses deux membres étant entiers et ou rationnels, la plus haute puissance de
« x » est la seconde.

Exemple : Soit l'équation

x ( x -2) + 3 x = ( x - 1 ) ( 2x + 5 )

Développons les deux membres

x² - 2 x + 3 x = 2 x² + 5x - 2 x - 5
x ² + x = 2 x² + 3 x - 5
Rassemblons tous les termes dans le 1er membre et réduisons et ordonnons :

x ² + x - 2 x² - 3 x + 5 = 0 soit : - x² - 2x + 5 = 0

Le premier membre étant un polynôme du second degré en « x » , l'équation
est un trinôme du second degré en « x » . Ainsi,
la forme générale d'une équation complète du second degré est :
a x ² + b x + c = 0

« x » est la variable et « a » , « b » et « c » désignant des nombres
connus.

Dans l'exemple précédent a = -1 ; b = -2 ; c = + 5

Résoudre : pour résoudre une équation du second degré on cherche tout
d'abord à réduire l'équation ;c'est à dire passer d'une forme
« développée » à une forme « factorisée » .


En résumé : On appelle équation du second degré dans l'ensemble « R »
toute équation de la forme :
ax2 + b x + c = 0

Où « a » ( 0 où a ; b ; c sont des nombres réels donnés, appelés
coefficients de l'équation et « x » un nombre réel inconnu (variable).


|Exemples d'équations du second |« complète » |
|degré « incomplète »: | |
|Cas 1 |Cas 2 |Cas 3 |Cas 4 |
|5 x2 = 0 |x2 - 4 = 0 |3x2 + 2x = 0 |x2 - 6x + 8 = 0 |
| |Sos Cours |SOS cours |SOS cours |




2- EQUATIONS INCOMPLETES DU SECOND DEGRE

L'équation du second degré devient incomplète dans trois cas :

|Cas |Exemples |Forme générale |
|1er cas : c = 0 | x² + 2x = 0 | a x² + b x = 0 |
|2ème cas : b = 0 | x² - 5 = 0 |a x² + c = 0 |
|3ème cas : b = c = 0 | 3 x² = 0 |a x² = 0 |

Nota : le coefficient « a » ne peut être nul sinon, l'équation de la forme
b x + c = 0 ne serait plus du second degré.

I ) - RESOLUTION DES EQUATIONS INCOMPLETES DU SECOND DEGRE

1°) Forme a x² = 0

Exemple 5 x² = 0

Le premier membre est immédiatement décomposable en un produit de facteurs
du premier degré.
5 x . x = 0
En égalant successivement à zéro chacun des deux facteurs « 5x » et « x »
on trouve chaque fois « x = 0 ». Cette réponse ayant été trouvée deux
fois , il est naturel de dire que l'équation a deux solutions égales à
zéro.
(Se souvenir « propriétés de la multiplication »que dans une
multiplication si un des facteurs est nul le produit est nul )

2°) Forme a x² + b x = 0

Exemple : x² + 5 x = 0

« x » est le facteur commun au deux termes, mettons « x » en facteur
commun ( factorisons)

nous obtenons un produit de facteurs, qui doit être égal à « 0 ».
x ( x + 5 ) = 0 ;

on pourrait identifier les « x » en leur affectant un indice , on
écrirait alors [ x1 ( x2 + 5 ) ]

Les deux facteurs du premier membre sont donc « x » et « x -5)

L'équation a pour solutions les valeurs de « x » qui annulent chacun des
deux facteurs du 1er membre soit :

x1 = 0 et x 2+ 5 = 0

ce qui donne comme les deux solutions x1 = 0 et x2 = -
5

On résume : les solutions pour que x² + 5 x = 0 sont x = 0 et x = -5



3°) Forme a x² + c = 0

Exemple 1 x² - 4 = 0

On écrit x² = + 4 ; ( x1 x2 = 4 )


On en déduit que x = [pic] ;

Commentaire :
« x » serait égal à « 2 » mais ; mais on se souvient que ( +2) ² = 4 et
que (-2)² = 4 ; on devra conclure que

L'équation a pour solution x = + 2 ou x = - 2 on peut écrire
x = ± 2 ou x = ± [pic]

Attention : -2 et +2 ne peuvent pas être solutions en même temps, en
effet , -2 fois + 2 = - 4

Ou x1 et x2 ont pour valeur - 2 ; ou x1 et x2 ont pour
valeur +2

Exemple II : x² + 3 = 0

X² = -3 or , nous avons vu qu'il n'existe aucun nombre dont le carré
soit négatif . Nous dirons donc qu'il y a impossibilité.

On interprète parfois ce résulta d'une autre façon. Le nombre imaginaire
Posant x = [pic] et , admettant toujours que [pic] ne représente aucune
quantité réelle, c'est à dire calculable on qualifie d' « imaginaire »
cette racine carrée singulière d'un nombre négatif ; on dit alors que l'
équation admet deux solutions imaginaires : x = [pic] ou x = [pic]

INFORMATION : du réel à l'imaginaire

Au XVI e siècle, l' Italien Cardan lève une interdiction célèbre entre
toutes : il imagine qu'un nombre négatif peut admettre une racine carrée.
Ainsi était créé l'ensemble des nombres complexes.
Deux siècles plus tard, suisse Euler utilise la lettre « i » en lieu et
place de la notation pour le moins ambiguë « [pic] ».
Le nombre « i » est un nombre imaginaire, dans le sens où il ne peut être
un nombre réel !!!!

Depuis, la théorie des nombres complexes n'a cessé de progresser et de
trouver des applications dans divers domaines tels que l'électricité,
l'électronique ....

Remarque : la lettre « j » est souvent préférée à « i » afin d'éviter, lors
de certaines applications en électricité toute confusion avec l'intensité
du courant.
Pour plus d'information voir le cours sur « les nombres complexes »
PARTIE N° 2

Remarque : Pour résoudre une équation du second degré on cherche à réduire
l'équation c'est à dire passer d'une forme « développée » à une forme
« factorisée ». Plusieurs méthodes peuvent être utilisées.

A - EQUATION COMPLETE A COEFFICIENTS NUMERIQUES.

Exemple 6 x² + 7 x + 1 = 0

Pour réduire cette équation, nous emploierons la « méthode des coefficients
indéterminés » dont les applications sont innombrables.

Ayant remarqué, que l'équation du second degré se résout facilement
lorsqu'elle ne contient pas de terme du premier degré, de la forme a x² +
c = 0 , nous décidons de changer d'inconnue. Posant « x = X + K », nous
fixerons la valeur du coefficient « K » de façon à obtenir une équation du
second degré en « X », ne contenant pas de terme du premier degré. La
valeur de « K » étant déterminée et celle de « X » étant calculée nous en
déduirons « x ».

( « X » lire « grand ixe ; « x » lire petit ixe)

|soit : |(1) 6 x² + 7 x + 1 = 0 |
|x = X + K | |
|remplaçons « x » par sa |6 ( X + K ) ² + 7 ( X + K) + 1 = 0 |
|valeur