EXERCICE AVEC CORRECTION (BAC partiel Madagascar 2006)

Sujet partiel de bac avec correction ( Madagascar 2006) [pic]
1-Equation différentielle du mouvement :
Choisissons un sens de rotation positif autour de l'axe ? du système(voir
fig ci-dessous) [pic]
Ecrivons le théorème de l'accélération angulaire :
[pic] Lorsqu'il est écarté de sa position d'équilibre, le disque est soumis au
couple de rappel de chaque fil de torsion de moment total : -2C.?. (le
signe - indique que le moment du couple est de signe opposé à ?), [pic]
C'est l'équation d'un oscillateur harmonique de pulsation : ?= 6.32rad.s-1. 2- Equation différentielle du mouvement(pendule de torsion avec
surcharge) :
L'énergie mécanique a pour expression :
Em=Ec+EP(élastique)+EP(pesanteur)
EP(pesanteur)=m.g.z=m.g.R(1-cos?) Ep(élastique)=1/2.(2.C).?2. Ec=1/2.J?.(d?/dt)2.+1/2 m.v2. Or, v=(d?/dt).R
Ec=1/2.J?.(d?/dt)2.+1/2 m. (d?/dt)2.R 2.
Em= m.g.R(1-cos?) + 1/2.(2.C).?2 + 1/2.J?.(d?/dt)2.+1/2 m. (d?/dt)2.R 2. L'énergie se conserve, la derive par rapport à t doit être nulle: 0=m.g.R.sin?(d?/dt) +1/2.(2C).?.(d?/dt) +2(d?/dt).d2?/dt2.(1/2.J+1/2.mR2) Les termes colorés peuvent être éliminés, il reste. 0=m.g.R.sin? +(C).?. +d2?/dt2.(J+mR2), En considérant des petites oscillations : sin? proche de ?(rad) et comme
m=0.5M 0=(0.5M.g.R+C).?. +d2?/dt2.(J+0.5M.R2), C'est l'équation d'un oscillateur harmonique de pulsation :
[pic] 3- Périodes :
Disque sans surcharge : T=2?/6.32=1.0s
Disque avec surcharge : T=2?/7.74=0.81s