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Apprendre les mathématiques à l'école primaire et au début du collège
L'essentiel en 10 pages et ... notions. (site TFM)
Apprendre les mathématiques, dès l'école primaire, c'est s'initier à une
manière de penser et s'en approprier les outils conceptuels et les
méthodes. Le propos peut sembler audacieux lorsqu'il concerne de jeunes
enfants. Il est cependant légitime, dans la mesure où, dès le départ des
apprentissages, les différentes composantes de l'activité mathématique sont
présentes.
? Un enfant de Grande Section ou de début de CP aura remporté un jeu dès
qu'il aura accumulé 10 jetons. Il en a déjà engrangé 7 et il s'interroge
sur ce qu'il doit maintenant gagner pour être déclaré vainqueur. Il se
trouve confronté à un problème d'anticipation que ses connaissances
mathématiques, mêmes modestes, lui permettre de résoudre, par exemple en
comptant au-delà de 7 : huit, neuf, dix tout en levant un doigt pour chaque
mot prononcé, avant de conclure : il faut que j'en gagne encore trois.
? Ce même enfant récite la suite des nombres qu'il connaît et se hasarde
même un peu au-delà : ... vingt-sept, vingt-huit, vingt-neuf, vingt-dix,
vingt-onze... Il ne maîtrise pas la suite orale des nombres au-delà de
vingt-neuf, mais il s'est interrogé sur la structure de celle-ci et a
commencé à repérer des régularités qui lui seront fort utile pour
l'apprentissage de la numération décimale.
? Deux enfants de CM2 se demandent comment faire pour partager une tarte
rectangulaire en 4 parts égales. Ils ont dessiné un rectangle et un des
enfants propose ce partage :
[pic]
Le premier soutient que le partage n'est pas équitable car les parts en
grisé sont plus petites que les parts en blanc sur le dessin (Regarde le
tour de chaque morceau. Tu vois bien que ce n'est pas la même chose). Le
second affirme que personne ne sera lésé. Le débat s'engage entre eux
jusqu'au moment où le second annonce au premier : J'en suis sûr... et je
peux le prouver. Il prend son crayon et ajoute le tracé suivant (ici en
pointillé) :
[pic]
Les deux triangles que je te montre (ceux désignés par une flèche), ils
sont pareils : c'est la même quantité de tarte. Et bien, une part blanche
et une part grise c'est le double, donc elles sont pareilles. Tu peux
prendre l'une ou tu peux prendre l'autre.
Confrontés à la question de la preuve, les deux enfants ont cherché des
arguments susceptibles de convaincre l'autre, en utilisant des
connaissances partagées, une certaine dose d'imagination et quelques
capacités de raisonnement.
A travers ces trois exemples, ce sont bien trois aspects essentiels de
l'activité mathématique qui sont à l'?uvre :
- les connaissances mathématiques permettent de résoudre des
problèmes : c'est même le ressort principal de leur élaboration
et le critère essentiel de leur évaluation ;
- les concepts mathématiques sont eux-mêmes objet
d'interrogation et l'esprit humain aspire à mieux les connaître
pour en avoir une meilleure maîtrise et, si possible, en étendre
le domaine d'utilisation ;
- la question de la preuve occupe une place importante en
mathématiques et conduit à développer les instruments d'une
pensée rationnelle.

Préciser les enjeux
Enseigner des mathématiques aux élèves, c'est donc bien plus que leur
communiquer un certain nombre de techniques et d'occasions de les utiliser.
C'est les initier à une culture, leur permettre de s'approprier des outils
conceptuels et méthodologiques. Et cela commence à l'école primaire...
L'extension de la scolarité obligatoire jusqu'à 16 ans, les études
générales ou à orientation professionnelle qui suivent, la nécessité d'être
disponible pour des formations complémentaires tout au long de la vie ont
profondément modifié les finalités de l'école primaire. L'enseignement des
mathématiques doit viser bien plus que l'apprentissage de techniques et
l'entraînement à des problèmes qui peuvent être traités à l'aide de ces
techniques. Comme le précise l'introduction des documents d'application des
programmes de l'école primaire, plusieurs catégories d'objectifs sont
visés :
. préparer les élèves à bénéficier au mieux de l'enseignement donné au
collège, en mathématiques et dans d'autres disciplines, notamment
scientifiques ;
. contribuer à la formation du futur citoyen et à son insertion sociale :
fournir des outils pour agir, choisir et décider dans la " vie courante ",
faire acquérir de nouveaux moyens d'expression (schémas, graphiques,
figures, symboles...) et assurer une vigilance nécessaire au maniement de
certains d'entre eux ;
. faire entrer les élèves dans une pratique mathématisante : les aider à
penser des objets " abstraits ", leur donner des occasions de débattre du
vrai et du faux, leur fournir quelques références historiques permettant
une première prise de conscience de cette partie de l'aventure humaine que
constituent les mathématiques ;
. participer à la formation générale des élèves : développer l'initiative,
l'imagination et l'autonomie, favoriser l'apprentissage de l'argumentation,
du raisonnement et l'exigence de rigueur ;
. assurer, même modestement, une première prise de conscience des
relations étroites qui existent avec d'autres domaines de savoir, lieux
d'utilisation des connaissances mathématiques et lieux de questionnements
adressés aux mathématiques.
Une conscience claire de ces différents enjeux est nécessaire à
l'enseignant pour orienter son action pédagogique, en gardant à l'esprit
que, de par le milieu dans lequel ils vivent, les enfants ne sont pas
préparés de la même manière à aborder une discipline qui implique un haut
degré de conceptualisation. Le rôle de l'école est donc d'aider ces élèves
à entrer dans une démarche d'élaboration et d'appropriation de concepts
destinés à faciliter la résolution de problèmes issus de leur environnement
et à s'ouvrir à des investigations dont l'objectif est d'enrichir la
connaissance et les potentialités d'utilisation de ces concepts.
En réalité, dès son plus jeune âge, l'enfant vit dans un monde déjà
mathématisé. Les nombres (exprimés par des mots ou par des chiffres) et les
formes (utilisées pour la réalisation d'objets ou présentes dans certains
de ses jeux) font partie de son environnement. Par ailleurs, Stanislas
Dehaene (1), chercheur en neuropsychologie cognitive, soutient que la
perception du nombre a été implantée dans le cerveau par l'évolution, que
" dès leur première année de vie, tous les hommes possèdent déjà
l'intuition du nombre " et que " dans un certain sens, donc, nous avons
tous la bosse des maths ". Dès sa plus jeune enfance, dès les premières
années de l'école maternelle, l'enfant est donc au contact d'objets
mathématiques et confrontés à des expériences qui en montrent la puissance.
Mais il faudra du temps pour que ces objets deviennent des concepts, pour
que, par exemple, les nombres acquièrent une vie autonome. Cela ne se
réalisera guère avant l'entrée au Cours Préparatoire où les mathématiques
commencent réellement à pouvoir s'échafauder. C'est dire que les
prédispositions du cerveau et le bain numérique dans lequel vivent les
enfants ne suffisent pas à la conceptualisation. Conscient de ces
potentialités et de ces ressources, l'enseignement se doit d'aider tous les
élèves dans la conquête des concepts mathématiques, de leur évidente
utilité comme de leur apparente futilité.

Maîtriser un concept
La maîtrise d'un concept ne se réduit pas à celle d'un ensemble de
techniques ou à l'énoncé d'un certain nombre de définitions, propriétés ou
théorèmes. Un concept mathématique n'acquiert véritablement ce statut que
lorsqu'il est défini à l'intérieur d'une théorie mathématique. En ce sens,
le jeune élève ne travaillerait pas sur des concepts mathématiques. Ce
serait ignorer que, dans l'histoire personnelle de chacun comme dans celle
des mathématiques, un concept n'est jamais apparu brusquement dans sa forme
définitive. Il a toujours été le fruit d'une longue élaboration au cours de
laquelle il a été d'abord reconnu comme outil efficace avant de devenir un
objet familier, étudié pour lui-même... avant d'être complètement théorisé.
Et cette aventure là débute bien dès l'école primaire, même si, pour
beaucoup, elle s'arrête avant l'inscription du concept dans une théorie
identifiée. La formation du concept d'addition sur les entiers naturels est
ainsi ancrée dans les premières questions qui peuvent être posées à un
enfant, à partir d'une expérience comme : " J'ai quatre cailloux dans ma
main droite et deux cailloux dans ma main gauche. Je les mets tous dans la
même main. Combien y a-t-il de cailloux dans cette main (refermée sur tous
les cailloux) ? ". Très tôt, dès 4 ou 5 ans (ou même avant avec des nombres
plus petits), par une résolution de type analogique, les enfants sont
capables d'apporter une réponse à la question posée : ils dessinent les
objets évoqués ou les représentent avec leurs doigts et, par dénombrement
(un, deux, trois quatre, cinq, six) fournissent le nombre de cailloux. Plus
tard, ils deviennent capables de répondre sans représenter tous les objets,
mais par exemple en comptant en avant de deux au-delà de quatre (cinq,
six). Ce n'est que lorsqu'ils deviennent capables de dire que la réponse
est six parce que " quatre et deux, ça fait six ", puis de le traduire
symboliquement par 4 + 2 = 6, qu'on peut estimer qu'un nouvel objet mental
(nommé addition) est en voie de conceptualisation. Peu à peu, l'addition
sur les nombres se dégagera des problèmes qui lui ont donné naissance, sera
reconnue et pourra donc être étudiée pour elle-même (par exemple 10