Energies d'un système solide-ressort 4pts

Asie 2004 Exercice 3. Énergies d'un système solide-ressort
(correction) I.a). Dans le référentiel rail (référentiel terrestre supposé galiléen) le
mobile G est soumis à trois forces :
- Son poids [pic] (direction verticale, sens vers le bas et appliqué
en G)
- La force de rappel du ressort [pic] (direction horizontale, sens de
G vers O et appliquée en G)
- La réaction normale de la tige [pic] (direction verticale, sens
vers le haut et appliquée en G)
I.b) I. 2. Appliquons la seconde loi de Newton au mobile : [pic]
Dans le repère proposé, il vient 0 [pic] + 0 [pic] -
k.x[pic] = m.ax. [pic]
soit - k.x = m. [pic]
donc m.[pic]+ k.x = 0
L'équation différentielle du mouvement est [pic]+ [pic].x
= 0
I. 3. x = xM .[pic]
En dérivant il vient : [pic] = -[pic]
En dérivant une seconde fois : [pic]= [pic]
Calculons alors la somme [pic] + [pic],
[pic] + [pic] = [pic]+ [pic]. xM .[pic]
[pic] + [pic] = 0
Donc l'expression x = xM .[pic] est bien solution de l'équation
différentielle.
I. 4. À t = 0 s on a x(0) = x0 = +2,0 cm et v(0) = [pic] = 0.
v(0)=[pic] d'où sin ( = 0 donc ( = 0 (à n( près où n est un entier)
on prendra ( = 0
D'autre part x(0) = x0 = xM cos(0+[pic]) d'où xM = x0 cos(0)= x0 = 2,0
cm
I. 5. T0 = [pic]= [pic] = 0,99 s
II. 1. Par lecture graphique sur la figure 2, on obtient une pseudo-période
T voisine de 1s. On peut donc considérer que la pseudo-période T est égale
à la période propre T0 du système. II. 2. Ec = ½ m.v² et EP = ½ k.x²
Or à t = 0 s, x = x0 = xM et v = 0, donc l'énergie cinétique est nulle et
l'énergie potentielle est maximale.
La courbe (A) correspond à l'énergie potentielle élastique et la courbe (B)
à l'énergie cinétique. II. 3. L'énergie mécanique du système diminue au cours du temps à cause des
forces de frottements qui sont responsables de dissipation d'énergie sous
forme de chaleur. II. 4. vx = [pic], et v = [pic] de plus vy =0 donc v = [pic]. [pic]est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe
représentative de x(t). À la date t2 cette tangente est horizontale, donc [pic]=0 = v(t2) la
vitesse est nulle. A la date t1, la tangente à la courbe est très décroissante, [pic]< 0 et
est minimale. Donc la vitesse, v = [pic] est maximale. II. 5. On a [pic], donc f = µ.v. La valeur de la force de frottement est
proportionnelle à la vitesse, elle sera nulle à la date t2 et maximale à la
date t1. II. 6. Quand la valeur de la force de frottement est nulle (date t2 par
exemple), l'énergie mécanique se conserve, on a donc un pallier. Ensuite la
valeur de la force de frottement augmente donc l'énergie mécanique diminue. -----------------------
Figure 1 m G O [pic] [pic] [pic] [pic] Figure 2 t1 t2 0ð1,6 0ð1,4 0ð1,0 0ð0,8 0ð0,2 0ð0,4 20 15 10 5 0 -5 -10 -15 (10