Mathématiques financières - WordPress.com

BBA 1ère année - 2015-2016
Plan de cours
Mathématiques financières
Professeurs : Mr.BELLALAH OBJECTIFS
Les décisions de financement et d'investissement constituent le fondement
de base de la théorie financière. Dans ce cours, nous abordons d'une
manière simple les qualités des marchés financiers et leur rôle dans le
financement direct des entreprises. Le système bancaire continu à jouer un
rôle important dans le financement des entreprises et des ménages notamment
en matière d'investissement. C'est dans ce sens que les différents
chapitres de ce module abordent les qualités des marchés financiers, le
rôle des banques dans la politique de financement des entreprises, les
différentes techniques de calcul financier et les principales notions
concernant les opérations financières à court terme (intérêts simples,
intérêts précomptés, postcomptés, escompte et renouvellement d'effets) et
les opérations à long terme (actualisation, capitalisation, annuités,
emprunts indivis et choix des investissements.
TYPE DE PEDAGOGIE
- Cours magistral
- Exercices pratiques Les séances se dérouleront en petits groupes et mêleront cours magistral et
exercices d'application directe de façon à assurer une proximité gage d'une
bonne assimilation des notions techniques.
Chaque séance sera ponctuée d'un court exercice de contrôle des notions
vues la semaine précédente.
METHODE D'EVALUATION Les étudiants seront évalués grâce à un contrôle continu prenant la forme
de courts contrôles hebdomadaires en séance et représentant 20 % de la note
finale.
En fin de semestre, un examen final de 2h permettra d'obtenir les 80 %
restants. BIBLIOGRAPHIE
[1] Méthodes quantitatives W. MASIERI
SIREY
[2] Mathématiques financières W. MASIERI
SIREY
[3] Mathématiques financières: évaluation des actifs et analyse du
risque P.PONCET, R.PORTAIT
DALLOZ
[4] Gestion financière
M. BELLALAH
EONOMICA DEROULEMENT DES SEANCES Chapitre 1 : Les Fondements de la finance : chapitre introductif Chapitre 2 : Intérêt simple, Intérêt commercial / civil, taux moyen de
placement. Chapitre 3 : Intérêts précomptés et postcomptés, taux effectif de
placement. Chapitre 4 : Escompte commercial / Escompte rationnel. Chapitre 5 : Notion d'équivalence; Problème du renouvellement d'effets
(échéance moyenne; échéance commune) Chapitre 6 :
. Intérêts composés.
. Notion d'actualisation.
. Calculs d'actualisation et de capitalisation.
. Taux équivalents et proportionnels.
Chapitre 7 : Annuités; Valeur actuelle; Valeur d'une série d'annuités à une
date quelconque. Chapitre 8 : Emprunts indivis à amortissements constants Chapitre 9 : Emprunts indivis à annuités constantes.
Chapitre 10 : Tableau d'amortissement d'un emprunt indivis. Mensualités,
Autres cas de remboursement. Chapitre 11 : Notion d'investissement, Valeur actuelle nette et délai de
récupération. Chapitre 12 : Taux de rentabilité interne et VAN relative Dernière séance : Révision générale NOTIONS DE BASE
1) PUISSANCES : an = a a a ....... a (n fois) a1 = a a0
= 1
[pic] [pic] [pic]
2) INEGALITES : [pic]
3) EQUATION DU SECOND DEGRE : L'équation du type ax² + bx + c = 0 a pour solutions [pic]
4) LOGARITHMES : Le Logarithme Neperien est une fonction croissante qui transforme un
produit en somme. Ln ( a b ) = Ln ( a ) + Ln ( b ) [pic] Ln ( 1 ) = 0
Ln ( an ) = n Ln ( a ) On utilise cette dernière propriété pour résoudre les équations du type ax
= b, ce qui donne : [pic]
5) SUITE GEOMETRIQUE :
[pic] 6) INTERPOLATION LINEAIRE : [pic] Le rapport des écarts des termes de gauche est égal au rapport des écarts
des termes de droite Cette technique de calcul est omniprésente dans les application concrètes
(même en dehors des cours de Méthodes Quantitatives), il est donc essentiel
que vous la possédiez parfaitement. Décrivons-la sur l'exemple suivant : on sait que la mesure de température
utilise en France une échelle allant de 0° à 100° Celsius et que dans les
pays anglo-saxons on utilise les degrés Fahrenheit allant de 32° à 212°F. 0°C correspond donc à 32°F et 100°C correspondent à 212°F. Supposons qu'on veuille savoir quelle température en °F correspond à 35°C. On peut remarquer que pendant que les degrés Celsius augmentent de 100 (de
0 à 100), les degrés Fahrenheit augmentent de 180 (de 32 à 212) et donc si
l'on appelle X la température cherchée : l'augmentation entre 32 et X devra
représenter par rapport à 180 (l'augmentation totale entre 32 et 212) la
même part (fraction) que représente l'augmentation entre 0 et 35 par
rapport à 100. On a en fait la structure suivante (qu'on retrouvera à chaque utilisation
de la règle de 3) : 0°C 32°F
35°C X°F
100°C 212°F 35 (35-0) est à 100 (100-0) ce que X-32 est à 180 (212-32) Le rapport des écarts d'un côté est égal au rapport des écarts
correspondants de l'autre [pic] Une fois l'équation posée, la résolution est particulièrement simple.
INTERETS SIMPLES
Introduction :
On travaillera dans cette séance et les trois suivantes sur des opérations
dites à court terme.
On entend par court terme une durée n'excédant pas 3 ans (en général) et le
plus souvent inférieure à l'année. 1 - Intérêt commercial :
Supposons que j'emprunte la somme de 500 E avec l'intention de la rendre un
an plus tard à la personne qui me l'a prêtée; celle-ci sera en droit de
réclamer un prix pour le service qu'elle m'a rendu, une sorte de "loyer"
pour la somme prêtée. C'est ce loyer qu'on appelle l'intérêt (qualifié de
simple pour des raisons qu'on élucidera plus tard). Cet intérêt devra être proportionnel à la somme prêtée (qu'on appellera
capital et qu'on notera C): il devra, par exemple, être deux fois plus
élevé si l'on me prête 1000 E que si l'on me prête 500 E.
Il devra aussi être proportionnel à la durée du prêt (notée n) : si
j'emprunte la somme pendant 2 ans, l'intérêt versé devra être le double de
celui versé pour un prêt durant 1 an. Pour calculer cet intérêt, il faut, en outre, définir un "prix unitaire",
l'intérêt produit par une somme de 1 E sur une durée de un an : c'est ce
qu'on appellera le taux d'intérêt (annuel) qui sera noté t . Ainsi, un taux d'intérêt de 6% signifie que si l'on emprunte 100 E sur un
an l'intérêt sera de 6 E.
Si l'on emprunte 500 E à 7% sur 2 ans, l'intérêt vaudra : [pic] =
70 E En notant I l'intérêt, on peut donc donner la formule générale suivante : [pic] Cette formule est valable pour une durée de prêt exprimée en années, mais
on peut aussi l'exprimer en mois, voire en jours (pour cette dernière
formule, on considérera que l'année comporte 360 jours, on parle alors
d'année commerciale, c'est un vestige du temps pré - informatique où une
division par 360 avec sa cohorte de diviseurs était plus simple à opérer
qu'une division par 365) [pic]= durée exprimée en mois [pic]= durée exprimée en jours Si on travaille avec la formule exprimée en jours, on considère que
l'année fait 360 jours, et dans ce cas on comptera le nombre de jours exact
entre la date d'emprunt et la date de restitution (remboursement) du
capital.
Par exemple, si l'on emprunte le 3 septembre 1000E à 7% à rendre le 12
décembre, le nombre de jours entre les deux dates vaut :
30 - 3 pour septembre
+31 pour octobre
+30 pour novembre
+12 pour décembre Ce qui donne une durée de prêt de 100 jours, donc un intérêt de [pic] =
19,44 E Le 12 décembre, on devra donc rembourser la somme de 1019,44 E ( "intérêt
et capital" )
Ainsi, si l'on emprunte un capital C, on devra rendre la somme C + I, on
appelle cette somme : la valeur acquise par le capital C ou valeur future
VF 2 - Intérêt civil : On a vu que la formule de l'intérêt simple pour une durée exprimée en jours
utilisait l'année commerciale de 360 jours.
On peut, bien sûr, calculer l'intérêt avec une année à 365 jours (qu'on
qualifiera d'année civile), on parlera alors d'intérêt civil. Par opposition, l'intérêt calculé sur 360 jours sera qualifié de
commercial. A remarquer que si on ne précise pas, il s'agit toujours de
l'intérêt commercial. En notant i' l'intérêt civil, on a : [pic] Bien entendu, l'intérêt civil est toujours inférieur à l'intérêt
commercial. 3 - Taux moyen : Commençons par remarquer que nous avons parlé jusqu'à présent d'emprunts ou
de prêts, mais que les mêmes notions s'appliquent à des placements (il n'y
a aucune différence entre placer un capital et le prêter à quelqu'un)
Considérons donc le problème suivant : divers capitaux étant placés à des
taux différents pour des durées différentes, quel est le taux unique qui,
pour les mêmes durées et pour les mêmes capitaux produirait le même intérêt
total ?
Ce taux unique s'appelle : taux moyen
Les divers capitaux seront notés : C1, C2, .........,Ck
Les différents taux : t1, t2,........,tk
Les durées : n1, n2,......., nk Le taux moyen sera noté t et sera solution de l'équation suivante (égalité
des intérêts totaux) : [pic]
En simplifiant par 100 et en mettant t en facteur dans le terme de droite,