Modèle mathématique. - Math-Question-Center

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Sujet proposé par Théo Héikay
« Il n'y a pas de choses simples, mais il y a une manière simple de voir
les choses. »
INTRODUCTION Y a-t-il de la vie ailleurs ? Dans ce système solaire, à part la Terre,
cela semble peu probable, et en tout cas inobservé. Et plus loin ? Il
faudrait qu'il y ait des planètes autour d'étoiles proches du Soleil, si
possible, pour qu'on ait une chance de les étudier un jour. Car observer un
objet de cette nature, tout près d'un objet si brillant qu'il le dissimule
dans ses feux, et si loin cependant que cette planète en est encore plus
indiscernable, a tenu pour longtemps de la vraie gageure. Une voie
indirecte a alors été suivie : un compagnon peut, en orbitant autour d'une
étoile, créer de très légers effets cinématiques sur celles-ci se
manifestant dans des décalages Doppler du rayonnement stellaire pouvant
être mis en évidence par une optique spectrophotométrique de très grande
précision.
1995 a vu cette entreprise couronnée pour la première fois de succès,
initialisant désormais une quête fructueuse puisqu'à l'heure actuelle + de
100 planètes extrasolaires ont été ainsi (indirectement) observées. PRÉREQUIS
Les notions nécessaires, comme la magnitude, le corps noir, la vitesse
d'évasion ou la vitesse thermique sont apportées dans le problème. ÉNONCÉ
À l'automne 1995, des astronomes suisses ont découvert des variations
périodiques dans les vitesses radiales de l'étoile m Pegasi, très
comparable au Soleil, de magnitude visible apparente 6,18 et située à 44,7
années-lumière de nous. Ces résultats ont été attribués à la présence,
autour de l'étoile, d'une planète dont la période orbitale serait de 4,23
jours, et dont la masse serait comparable à celle de Jupiter.
I _ Rappels sur des définitions astronomiques a) L'année lumière (al) est la distance parcourue par la lumière en un
an.
Donner la valeur de al (c = 3.108 m.s- 1).
Le parsec (pc) est la distance d'une étoile d'où on verrait le rayon de
l'orbite terrestre (UA) sous un angle de 1''.
Donner la valeur du parsec (UA = 1,496.1011 m). Donner la relation
numérique entre pc et al.
b) La notion de magnitude remonte à l'antiquité, quand Hipparque
établissait le premier catalogue d'étoiles en inventant la notion de
grandeur, nombre entier, d'autant plus élevée que l'étoile est faible,
l'étoile la plus brillante étant de grandeur 1.
De façon moderne, la magnitude apparente d'une étoile est liée à
son éclairement (flux de puissance observé) par la relation
m = - 2,5 log E + cste
Plus précisément, il faut spécifier le domaine de rayonnement observé, la
constante étant fixée selon une source établie.
Pour une observation dans le domaine visible,
mV = - 2,5 log E - 14,2
II _ Propriétés de m Pegasi On appelle magnitude absolue m la magnitude apparente qu'aurait l'étoile
si elle était placée à une distance de 10 pc. L'intérêt de cette notion
est qu'elle permet de comparer les luminosités intrinsèques des étoiles
puisqu'elles sont placées ainsi artificiellement à la même distance.
i. Calculer la magnitude absolue MV(©) du Soleil (L © = 3,86. 1026 W).
ii. Donner la relation entre magnitude apparente et magnitude absolue.
On appelle m - M le « module de distance ». Pourquoi ?
iii. Calculer MV pour M. Le résultat est-il plausible pour une étoile
semblable au Soleil ? On appréciera la rapport des luminosités du
Soleil et de M Pegasi. III _ Propriétés de la planète extrasolaire i. En utilisant la 3e loi de Kepler (a3/T2 = GM/4(2) calculer, en UA, la
distance approximative de la planète à son étoile. La comparer avec
celles du système solaire (M© = 2.1030 kg). Commenter.
ii. On suppose que la planète se comporte comme un corps noir (elle émet
par unité de surface une puissance (T4, ( = 5,67.10- 8 SI) sphérique
de rayon R. Son albédo (rapport de la puissance réfléchie à la
puissance incidente) est (.
Si L est la luminosité de l'étoile, donner l'expression de T en fonction
de (, L et R, en partant de l'équilibre énergétique de la planète.
Estimer la température de surface de la planète supposée semblable à
Jupiter (( = 0,34).
iii. Démontrer que la vitesse de libération v à la surface d'une planète de
masse M et de rayon R est
v1 = )
Démontrer que la masse moyenne d'agitation thermique d'une particule de
masse m d'un gaz de température T est
vt = )
Discuter l'existence possible d'une atmosphère à la surface de la
planète.
(Masse de Jupiter M = 1,9.1027 kg, rayon de Jupiter R = 71 300 km, masse
de l'atome d'hydrogène m = 1,67.10- 27 kg).
CORRECTION DE L'AUTEUR
I _ a) La durée de l'année (365,25 j de 86 400 s chacun) est 1 a =
3,16. 107 s d'où
al = cT = 3,16.107 = 9,48.1015 m
D'après la définition du persec 1'' = soit
d = 18060)) = 3,086.1016 m
d'où pc = 3,26 al.
II _ a) La luminosité du Soleil L © donne, à une distance d, un
éclairement
EV =
(4(d² est la surface de rayon d).
La magnitude absolue est calculée d'après l'éclat à d = 10pc d'où
MV(©) = - 2,5 log - 14,2
A.N. On trouve MV(©) ~ 4,5.
c) Si pour une étoile donnée de luminosité L, E est l'éclat à la distance
d, et E10 l'éclat à la distance de 10 parsec, on a L = 4(d²E =
4((10pc)²E10
Soit
= ) ²
si d est mesurée en pc. Par ailleurs
m = - 2,5 log E + cste
M = - 2,5 log E10 + cste
d'où
m - M = - 2,5 log = - 5 log
d'où m - M = 5 log d - 5 module de distance.
m - m mérite son nom parce qu'il n'est fonction que de la distance, et
qu'inversement sa connaissance permet d'atteindre la distance.
d) Pour M Pegasi, MV = mV + 5 - 5 log d soit
MV = 6,18 + 5 - 5 log ~ 5,5
Cette valeur est proche de celle du Soleil, ce qui confirme que M Pegasi
est bien une étoile de type solaire.
MV (©) - MV (Pegasi) = 4,5 - 5,5 = 1 = - 2,5 log
d'où
= 100,4 ~ 2,5
qui est le rapport des luminosités.
III _ a) La masse de M Pegasi doit être comparable à celle du Soleil ce
qui n'a pas une grande incidence car
a = ) 1/3
varie peu avec M. On sait, d'après la trajectoire de la Terre que
UA = )1/3
d'où
= )2/3 ~ 0,05
Cette planète, de nature géante, est extrêmement proche de l'étoile. Ce
n'est pas sans poser un problème sur la compréhension des systèmes
planétaires car, dans le mécanisme de formation adopté actuellement pour le
système solaire, les planètes géantes sont à grande distance du Soleil.
b) La planète reçoit de l'étoile et par unité de surface perpendiculaire
au rayonnement une puissance . La puissance absorbée est donc
(1 - ()L
À l'équilibre énergétique
(1 - ()L = 4(R²(T4
d'où
T = )1/4
A.N. L ~ 0, 4 L © ~ 1,5.1026 W. m- 1 ; d ~ 0,05 1,496 ; 1011 = 7,5.109
m ; ( = 0,34 .
D'où T ~ 1250 K qui est une température de surface très élevée pour une
planète.
c) L'énergie totale d'un corps de masse m, de vitesse v, situé à une
distance r du centre d'un objet attractif massif de masse M >> m, est
E = mv² -
On obtient v = v1 pour E = 0 (l'objet de masse m peut aller jusqu'à
l'infini avec une vitesse nulle) d'où pour la planète de masse m et de
rayon R,
v1 = )
Pour un gaz en équilibre à la température T, le théorème de
l'équipartition de l'énergie donne kT par degré de liberté.
Pour l'énergie cinétique de translation, il y a 3 degrés de liberté d'où
mvt2 = 3 kT
soit
vt = )
Pour la planète extrasolaire assimilée à Jupiter, R = 7,13.107 m, M =
1,9.1027 kg soit
v1 ~ 60 Km. S- 1
Pour un gaz d'hydrogène (m = 1,67. 10- 27 kg) à la température de 1 250
K,
vt ~ 5, 6 km. S- 1
L'hydrogène qui est le gaz le plus léger et donc a de plus de facilité à
s'échapper à cependant une vitesse moyenne d'agitation thermique
nettement inférieure à la vitesse de libération de la planète
extrasolaire. L'existence d'une atmosphère sur cette planète est donc
plausible. Sujet proposé par Théo Héikay « J'aime les vieilles questions.
Ah ! Les vieilles questions, les vieilles réponses, il n'y a que ça ! » Introduction Les planètes du système solaire possèdent pour la plupart des satellites
naturels. L'homme a également inventé des satellites artificiels, d'abord
autour de la Terre, puis des planètes et l'intérêt scientifique,
technologique, économique (pour ne pas parler du militaire) de ces
satellites est unanimement reconnu. Comme sont reconnus aussi les problèmes
qu'ils peuvent poser à l'environnement, voire de façon très directe lorsque
des morceaux menacent immédiatement la vie humaine.
Le présent problème examine quelques phénomènes généraux concernant les
sa