Exercices d'algèbre linéaire (.doc)

ALGEBRE LINEAIRE


Exercice 1
Soient E, F, G trois K-ev de dimension finie, u L(E,F) et v
L(F,G)
Montrer que :
i) rg(v ) u) min(rg(u),rg(v))
ii) Si u est surjectif alors rg(v ) u) = rg(v)
iii) Si v est injectif alors rg(v ) u) = rg(u)


Exercice 2
Soient E et F des ev de dimension finie ,f et g deux élément de
L(E,F)
Montrer que :
rg(f) - rg(g) rg(f + g) rg(f) + rg(g)


Exercice 3
Soient deux endomorphismes g et h d'un K-ev E de dimension n
tels que :
. g + h est inversible
. g ) h = 0
Montrer que :
rg(g + h) = rg(g) + rg(h)


Exercice 4
Soit E un k-ev de dimension finie et f un endomorophisme de E.
Prouver :


(ker(f) = ker(f2) ker(f) ( Im(f) = E






Correction


Exercice 1


i)
On a : Im(v ) u) Im(v) d'où rg(v ) u) rg(v)


et dim(v ) u(E)) + dim(u(E) ker(v))=dimu(E)


D'où rg(v ) u) rg(v)
ii)
u surjectif donc u(E)=F donc Im(v ) u)=Im(v)
iii)
v injectif donc ker(v)={0}


alors dim(v ) u(E)) + dim(ker(v) u(E)) =dimu(E) soit dim(v )
u(E)) = dimu(E)